il faut que tu te dises que la somme des coefficients diagonaux est nulle, donc si l'on considère uniquement la diagonale, elle est engendrée par (n-1) matrices diagonales dont les coefficients diagonaux respectifs sont (1,0,0...,-1) , (0,1,0...,0,-1) , ...., (0,0.....,0,1,-1)
ces matrices diagonales formant une famille libre, l'espace considéré est de dimension n-1.
puis les autres coefficients de ta matrice symétrique sont determinés par le choix des coefficients sous-diagonaux (ou sur-diagonaux) soit un espace de dimension n(n-1)/2

au total l'espace recheché est de dimension n(n-1)/2 + n-1  = (n-1)(n+2)/2.
sauf erreur..

Bonjour Djeffrey,bonjour Bloomie;
ta solution est juste Bloomie,je vais juste proposer une autre façon de faire:
notons l'espace des matrices symétriques et celui des matrices de trace nulle,on a que: