Bonsoir,

Quelle est ta question exactement ?

Pour commencer, A et B sont elles hermltiennes ?

Bonsoir
L'exercice en question est : montrer qu'une matrice hermitienne est définîtes positive ssi toutes ses valeurs propres sont strictement positives

Pour montrer «  » A est semblable a une matrice diagonale D dont les coeffs diagonaux sont réels et str positifs, et c'est facile de montrer que x*Dx0 et on a égalité pour x=0 donc D est définie positive et j'aimerais savoir si comme D est semblable a A, A est aussi définie positive

Du coup A et B sont hermitiennes

Le théorème spectral te dit que toute matrice hermitienne est UNITAIREMENT semblable (pas seulement semblable) à une matrice diagonale à coefficients réels :  il existe une matrice unitaire telle que avec diagonale réelle.
Par définition, est définie positive si et seulement si pour tout (vecteur complexe de taille idoine)  .
Or .
Je te laisse poursuivre

x≠0

Or U est inversible d'inverse U*, ker(U)={0} d'où Ux≠0

Et

C'est D à la place de M quand j'utilise les formules de changement de base désolé

Je ne vois pas vraiment dans ce que tu écris l'argument que est définie positive si et seulement l'est si et seulement si toutes les valeurs propres de sont définies positives

(J'ai posé y=Ux et x≠0 => y≠0 car ker(U)={0} et y≠0 => x≠0 car U est unitaire)

(car y≠0)