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Niveau maths spé
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Matrice définie positive

Posté par
termina123
15-09-21 à 21:50

Bonjour
Pour un exo j'aimerais bien avoir si A est semblable a B, A est définie positive si et seulement si B est définie positive
M unitaire tq  A=MBM*
M*= matrice adjointe de M

A est def pos pour tout vecteur colonne x, x*Ax>0
pour tout x, (M*x)*B(M*x)>0
M est semi definie positive

A est def pos (x*Ax=0 x=0)
((M*x)*B(M*x)=0 x=0 M*x=0)

D'où A def pos B def pos

Posté par
GBZM
re : Matrice définie positive 15-09-21 à 22:56

Bonsoir,

Quelle est ta question exactement ?

Pour commencer, A et B sont elles hermltiennes ?

Posté par
termina123
re : Matrice définie positive 15-09-21 à 23:20

Bonsoir
L'exercice en question est : montrer qu'une matrice hermitienne est définîtes positive ssi toutes ses valeurs propres sont strictement positives

Pour montrer « \Leftarrow » A est semblable a une matrice diagonale D dont les coeffs diagonaux sont réels et str positifs, et c'est facile de montrer que x*Dx0 et on a égalité pour x=0 donc D est définie positive et j'aimerais savoir si comme D est semblable a A, A est aussi définie positive

Posté par
termina123
re : Matrice définie positive 15-09-21 à 23:22

Du coup A et B sont hermitiennes

Posté par
GBZM
re : Matrice définie positive 16-09-21 à 02:21

Le théorème spectral te dit que toute matrice hermitienne  M est UNITAIREMENT semblable (pas seulement semblable) à une matrice diagonale à coefficients réels :  il existe une matrice unitaire U telle que M=U^*DU avec D diagonale réelle.
Par définition, M est définie positive si et seulement si pour tout x\neq 0 (vecteur complexe de taille idoine)  x^* M x >0.
Or x^*Mx= x^*U^ *DUx=(Ux)^*DUx.
Je te laisse poursuivre

Posté par
termina123
re : Matrice définie positive 16-09-21 à 20:10

x≠0
x^{*}Mx=(Ux)^{*}M(Ux)>0
Or U est inversible d'inverse U*, ker(U)={0} d'où Ux≠0

Et x^{*}Mx=(Ux)^{*}M(Ux)=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow Ux=0

Posté par
termina123
re : Matrice définie positive 16-09-21 à 20:13

C'est D à la place de M quand j'utilise les formules de changement de base désolé

Posté par
GBZM
re : Matrice définie positive 16-09-21 à 23:11

Je ne vois pas vraiment dans ce que tu écris l'argument que M est définie positive si et seulement D l'est si et seulement si toutes les valeurs propres de M sont définies positives

Posté par
termina123
re : Matrice définie positive 17-09-21 à 00:07

\forall x\neq 0, x^*Mx>0 \Leftrightarrow \forall x\neq 0, (Ux)^*D(Ux)>0 \Leftrightarrow \forall y\neq 0, y^*Dy>0
(J'ai posé y=Ux et x≠0 => y≠0 car ker(U)={0} et y≠0 => x≠0 car U est unitaire)

\forall y\neq 0, y^*Dy>0 \Leftrightarrow \forall i\in \{1,…,n\}, \lambda _i|y_i|^2>0 \Leftrightarrow \forall i\in \{1,…,n\}, \lambda _i >0 (car y≠0)



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