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Niveau maths spé
matrice diagonalisable ?
Posté par sophy
bonjour, je suis assez embétée sur un exercice :
on a
On me demande si la matrice est diagonalisable.
Sur quelques exemples simples en dimension faibles je trouve que A est diagonalisable. Cependant je ne vois pas par où commencer trigonaliser A me semble une mauvaise piste car on perd les informations sur A et qu'on ne connait pas les valeurs propres, les puissances de la matrices sont compliquées il est hors de question de chercher le polynome minimal etc...
Une idée ?
Merci
Bonsoir.
A est clairement symétrique.
Si les coefficients sont tous réels, alors elle est symétrique réelle donc diagonalisable.
Si les coefficients sont complexes, elle ne me semble pas nécessairement diagonalisable.
Prendre par exemple a1=i, a2=1 et aj=0 pour j supérieur à 2.
Le calcul du polynôme caractéristique conduit à X², c'est-à-dire sp(A)={0}, or la matrice n'est pas nulle, donc pas diagonalisable.
La matrice A n'est elle pas de rang 1? Auquel cas elle est diagonalisable ssi sa trace est non nulle.
merci à tous
J'ai su montrer que rg(A)=1
la conclusion est bien A diagonalisable <=> a1²+a2²+...+an² different de 0
merci idm
Citation :
J'ai su montrer que rg(A)=1
la conclusion est bien A diagonalisable <=> a1²+a2²+...+an² different de 0
J'ai su montrer que rg(A)=1
la conclusion est bien A diagonalisable <=> a1²+a2²+...+an² different de 0
tu n'es pas d'accord avec ce resultat ?
dans le contre exemple A non diagonalisable et on a bien 1²+i²=0. Cela semble confirmer non ?
En toute honnêteté, je ne sais pas vraiment... je sais qu'une condition suffisante pour qu'elle soit diagonalisable est qu'elle soit hermitienne, (mais ce n'est bien sûr pas la seule). Disons que dans ton cas, je ne vois pas en quoi le fait que la somme des carré de la diagonale soit non nul impliquerait la diagonalisabilité, mais dans le fond pourquoi. Je t'avoue ne pas avoir vraiment le temps d'y réfléchir, attend donc l'avis de quelqu'un d'autre 
Citation :
dans le contre exemple A non diagonalisable et on a bien 1²+i²=0. Cela semble confirmer non ?
dans le contre exemple A non diagonalisable et on a bien 1²+i²=0. Cela semble confirmer non ?
le fait que ça marche dans ce contre exemple n'est pas suffisant pour affirmer ton assertion.
oui bien sur je ne me base pas sur le fait que le contre exemple marche pour affirmer mon assertion
Je ne sais pas ce qu'est une matrice hermitienne
en gros les valeurs propres sont 0 et la trace
si la trace est nulle alors la matrice est non diagonalisable car elle serait nulle
si la trace est non nulle on montre aisaiment que l'ordre de multiplicité de la trace est 1 = dim(Ker(A-tr(A)I)) et que celui de 0 est n-1=dim(Ker(A))
ce qui donne le resultat