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Matrice diagonalisable
Bonjour,
Je dois trouver pour quelles valeurs réelles de a et de b la matrice Aa,b=
| a | b | b |
| b | a | b |
| b | b | a |
est diagonalisable
Ma première idée a été de calculer le polynôme caractéristique. J'ai obtenu X,A(X)=(X-a-b)**2(X-a+2b)
On a donc deux fois a+b comme valeur propre et a-2b
Mais après je suis un peu perdue
Que dois-je faire ?
Bonjour
A savoir qu'une matrice réelle symétrique et toujours diagonalisable. Mais ça tu ne l'a pas encore vu sinon l'exercice est terminé.
A ta place, je commencerai par distinguer le cas et je chercherai la dimension du sev propre pour a+b
Il y a aussi un moyen plus direct c'est de considérer la matrice
et de voir que
et de montrer que
est diagonalisable ssi
est diagonalisable.
oui c'est certain que le polynôme est faux, j'ai pas bien regardé
mais la somme des vp=3a étant correct ..donc ....
XZ19 merci mais dans ce cas là on ne détermine pas réellement les couples possibles (a,b) pour que Aa,b soit diagonalisable, si ?
XZ19 merci mais dans ce cas là on ne détermine pas réellement les couples possibles (a,b) pour que Aa,b soit diagonalisable, si ?
D'abord je te conseille de commencer comme tu as fait ( polynôme caractéristique....
Ensuite si tu démontres ce que j'ai dit, tu verras que c'est vrai pour tout a,b.
oui c'est ça. J'espère ne pas avoir fait fuir @matheuxmatou. C'est à dire que quand j'ai écrit je n'arrive pas à voir qu'il y a une réponse simultanée...
XZ19
non, je dois quitter... et ça risque de l'embrouiller si on le guide à deux 
je te laisse poursuivre
Pour l'expression de Aa,b en fonction de I3et de A0,1 je comprends bien alors je dois montrer que A0,1 est diagonalisable et pour ça j'utilise le résultat du polynome caractéristique en remplaçant a par 0 et b par 1 ?
C'est à dire que que tu as calculé P_{ab}(x) pour la matrice A_{a,b} donc c'est valable en particulier pour a=0, b=1. inutile de recommencer.
Alors j'ai E-1=Vect((-1,1,0),(-1,0,1)) et E2=Vect((1,1,1))
On a la dimension des sous-espaces qui est égale à la multiplicité des valeurs propres donc A0,1 est diagonalisable ?
oui c'est ça.
Maintenant il faut montrer que ça implique A_{a,b} est diagonalisable. C'est un peit raisonnement
La matrice Aa,b est diagonalisable si et seulement si toute matrice représentant Aa,b est diagonalisable ?
Non, ça veut rien dire ce que tu dis.
Puisque est diagonalisable il existe une matrice D diagonale et P inversible telle que
Donc
Je te laisse compléter et finir.
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