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Matrice et équation
Bonjour à tous,
J'espère que vous allez bien.
Je bute sur un exercice sur les matrices en maths expertes, je poste donc ce message afin de pouvoir mieux comprendre cet exercice.
Voici l'énoncé du problème :
Soit un réel non nul m et la matrice Am=
1. Calculer Am²-2I3
2.En déduire que pour tout m non nul, la matrice Am est inversible et écrire la matrice Am^-1
3.Dans la suite de cet exercice, on souhaite résoudre l'équation (E)=XAm+AmX=I3 où l'inconnue X est une matrice carrée d'ordre 3
a. Montrer que si X est solution de (E) alors X commute avec Am²
b.En déduire que si X est solution de (E) alors X commute avec Am
c. Résoudre l'équation (E)
Voila où j'en suis :
1. Je trouve Am²-2I3=A
2. Am²-2I3=Am<=>Am²-Am=2I3
<=>Am(Am-I3)=2I3
<=>Am*1/2(Am-I3)=I3
d'où Am^-1=1/2(Am-I3)
3.Je bloque à partir de cette question. Je doute qu'il faut que j'utilise la relation que j'ai trouvé à la question 1. Am²-2I3=A
mais je n'arrive pas à l'amener pour conclure
4. et 5. J'ai besoin des résultats de la question 3 pour continuer...
Merci d'avance !
Bonjour,
Je vais noter A la matrice Am, et I la matrice identité pour alléger les notations
l'équation (E) est XA+AX=I
soit X un solution de (E) qu'est-ce que cela donne si tu multiplies par A à gauche, même question quand tu multiplies par A à droite?
(XA+AX)A= ?
A(XA+AX)=?
Merci
* Modération > Citation inutile effacée. *
C'est bon pour cette question, merci !
Voici ce que je trouve :
Si X solution de (E)
Alors XA+AX=I
=>A(XA+AX) =A
=>AXA+A^2X=A
Et de même
=>XA^2+AXA=A
D'ou AXA+A^2X=XA^2+AXA
=>A^2X=XA^2
Ainsi si X est solution de (E), A^2 et X commutent.
Je vais essayer de faire la suite, merci encore !
* Modération > Citation inutile effacée. *
C'est bon pour cette question, merci !
Voici ce que je trouve :
Si X solution de (E)
Alors XA+AX=I
=>A(XA+AX) =A
=>AXA+A^2X=A
Et de même
=>XA^2+AXA=A
D'ou AXA+A^2X=XA^2+AXA
=>A^2X=XA^2
Ainsi si X est solution de (E), A^2 et X commutent.
Je vais essayer de faire la suite, merci encore !
B. Je réussis à trouver que X et A commutent à partir de ce que j'ai trouvé précédemment !
C. J'ai réussi grâce à la matrice A^-1
Merci beaucoup pour votre éclairement !
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