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Niveau terminale
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Matrice et géométrie

Posté par
lescientifik 03-01-20 à 15:48

Bonjour j'ai un exercice de spé maths et je suis bloqué merci de m'aider
Exercice préliminaire
On considère les matrices M=(2 -1), D= (1 0), P=(1 1), 1/2(3 -1)
                                                                   (3 -2)          (0-1).      (0 -1)         (-1 1)
1) Vérifier que M=PDQ et que PQ=QP=i2 où i2 est la matrice identité d'ordre 2. Noter qu'on a alors Q=P^-1 (fait)

2) Déterminer D^2, D^3 puis par raisonnement par récurrence D^n, où n€N-0 (fait)

3) Montrer alors que M^n= P*D^n*P^-1, et déterminer M^n pour n€N-0 (fait)
                                                                                                                           ->->
4) On définit T la transformation suivante: dans la base (i,  j), l'image du vecteur A de coordonnées (x) =A est le vecteur A' de coordonnées (x')=A', où A'=MA
                               (y)                                                                                  (y')
Montrer qu'on a (P^-1*A')=D(P^-1*A) (fait)

Problème
Dans un repère orthonormé du plan (O,i,j) représenté le vecteur A de coordonnées (-1; 2) et construire son image A' par la transformation du plan T de matrice dans la base de vecteur (i,j) la matrice M=(2 -1)
                                                          (3 -2)
Dans un autre repère orthonormé du plan (O,u,v) représenter le vecteur B de coordonnées (-2,5;1,5) et construire son image B' par la transformation du plan T de matrice dans la base de vecteurs (u,v) la matrice M=(1 0)
                                                                                                                   (0 -1)
Dans un repère orthonorme du plan (O,i,j) représenter les vecteurs u de coordonnées (1;1) et v de coordonnées (1;3), et le vecteur A de coordonnées (-1;2)
Retrouver par une construction graphique la décomposition du vecteur A dans la base de vecteur (u,v), et donc les coordonnées du vecteur A dans la base de vecteur (u,v). Vérifier les résultats lus graphiquement grâce au calcul des coordonnées de À dans la base de vecteurs (u,v)
Construire alors l'image du vecteur A par la transformation T de matrice dans la base de vecteur (u,v) la matrice D=(1 0)
                                                           (0 -1)
Confronter ce résultat avec celui obtenu à la question 1

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 03-01-20 à 16:05

Pour les parenthèses qui sont seuls sur les lignes, ce sont les deuxièmes lignes des matrices

Posté par
malou Webmasterre : Matrice et géométrie 03-01-20 à 16:26

aide à l'écriture des matrices
choisir l'éditeur Ltx

Matrice et géométrie

puis

Matrice et géométrie

(modération)

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 03-01-20 à 16:32

Je ne savais pas merci du renseignement mais je suis bloqué depuis 3 jours peut on m'aider

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 03-01-20 à 22:04

Help me guys please

Posté par
veledare : Matrice et géométrie 03-01-20 à 23:50

bonsoir
1)je ne vois pas la matrice Q
2)tu calcules D2 ,  D3 ,D4 qu'est ce que tu remarques?

3)M=PDQ   donc M²=(PDQ)(PDQ)=PD(QP)DQ=

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 08:05

Bonjour

La matrice Q c'est 1/2 * \begin{pmatrix} 3& -1\\ -1& 1 \end{pmatrix}
2) si l'exposent est impaire la matrice D sera la même sinon si c'est paire le -1 devient un 1

Et pour la 3 j'ai compris mais je suis bloqué aux questions du problème car je n'ai pas compris
Merci de m'aider

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 10:18

J'ai besoin d'aide

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 14:20

Peut on m'aider ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 15:03

Bonjour,
J'ai l'impression qu'il ya des erreurs dans ce que tu as recopié au début de l'énoncé :

Avec \; M = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 3 &-2 \end{pmatrix} \; on a M2 qui est la matrice identité d'ordre 2.
Et M=PDQ est faux.

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 15:15

Bonjour je vient de relire l'énoncé et ce que j'ai écrit c'est ce qu'il y a

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 16:16

Peux-tu écrire les matrices données au début de l'énoncé avec l'outil indiqué par malou ?

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 16:26

M=\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 3& -2 \end{pmatrix}
D= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}
P= \begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
Q= 1/2 \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Question 4: A= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
A'= \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}

Pb: M1= \begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&-2  \end{pmatrix}
M2= \begin{pmatrix} 1&0\\0&-1  \end{pmatrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 16:34

La matrice P était différente.
Qu'as-tu trouvé pour Mn au 3) ?

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 17:10

Que pour n€N -0
M^n = \begin{pmatrix} 4 &(-1)^n\\ 3&(-2)^n \end{pmatrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 17:22

C'est faux. Qu'as-tu trouvé pour Dn ?

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 17:24

D=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix} quand n est impaire et
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix} quand n est paire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 17:32

Oui, c'est bon.
Si tu l'utilises au 3), il faut séparer les cas aussi.

Ou utiliser cette formule globale : D^{n} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & (-1)^{n} \end{pmatrix}

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 17:51

C'est ce que j'ai fait

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 17:52

C'est aux questions du problème ou je bloque

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 18:05

Oui, mais ton résultat pour Mn est faux.
Pour n=1, tu devrais trouver 2 au lieu du 4.
As-tu calculé M2 ?

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 18:11

C'est un 2, j'avais trouvé une erreur c'est juste que j'avais oublié

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 18:26

Calcule M2 et constate que ta formule est fausse même avec 2 à la place du 4.

Citation :
Avec \; M = \begin{pmatrix} 2 &-1 \\ 3 &-2 \end{pmatrix} \; on a M2 qui est la matrice identité d'ordre 2.

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 18:35

Ça fait M^2=[strike][/strike] \begin{matrix} 1 &0\\ 0& 1 \end{matrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 19:25

Difficilement compatible avec

Citation :
M^n = \begin{pmatrix} 4 &(-1)^n\\ 3&(-2)^n \end{pmatrix}

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 19:52

Oui mais du coup c'est quoi alors

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 20:57

Tu as 3 manières de faire :
En utilisant Mn= PDnP-1 avec ton résultat de 10h24 pour Dn, et en séparant le cas n pair de n impair.

En utilisant Mn= PDnP-1 avec la formule que j'ai donnée à 17h32.

En utilisant \; M^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \; et séparant n = 2k et n = 2k+1.
Beaucoup plus facile, car il est évident que \; M^{2k} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} . Mais pas dans l'esprit de l'exercice...

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 21:12

Ça fait P*D\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& (-1)^n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 &(-1)^n \\ 1 & 3^n \end{pmatrix}
PD*P^-1=PD*Q= 1/2* \begin{pmatrix} 1 &(-1)^n \\ 1 & 3^n \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} 3 &(-1)\\ -1 & 1 \end{pmatrix}= 1/2*\begin{pmatrix} 4^n&(-2)^n \\  6^n& (-4)^n\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2^n &(-1)^n \\  3^n &(-2)^n\end{pmatrix}
je suis bloqué

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 04-01-20 à 22:17

J'ai compris où est le problème : Plein d'erreurs de calcul avec les exposants.
Deux exemples :
Pour PD : 3(-1)n ne se simplifie pas. C'est égal à +3 ou -3 selon la parité de n ; rien à voir avec ton 3n.

Ensuite pour PDQ : 3 + (-1)(-1)n n'est pas égal à 4n.
an+bn n'est pas égal à (a+b)n.

Je te conseille d'utiliser la 1ère manière de faire, où il n'y a pas d'exposant.

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 08:45

J'ai compris
Quand n est paire
M=\begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& 1 \end{pmatrix}
Et P*D=\begin{pmatrix} 1 &1\\ 1& 3 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1\\ 1& 3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 &1\\ 1& 3 \end{pmatrix}*1/2* \begin{pmatrix} 3 &-1\\ -1&1 \end{pmatrix}=M paire
Quand n est impaire PDQ= \begin{pmatrix} 2 &1\\ 3&2 \end{pmatrix} soit M impaire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 10:49

D'accord pour :
Quand n est pair \; M^n = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0& 1 \end{pmatrix}

Mais pour n impair, il faut trouver \; Mn = M.
Donc revoir tes calculs de produits de matrices.
Rappel : D^n = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix} quand n est impair.

N'oublie pas l'exposant n dans ce que tu écris. Ton dernier message est difficilement compréhensible.
Et de faire "Aperçu" avant de poster aussi.

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 11:29

Quand n est paire
il faut prend D^n=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}
Donc PDQ=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{pmatrix} et M=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 1 \end{pmatrix}
Alors que quand n est impaire
Il faut prend D= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& (-1)\end{pmatrix}
Donc PDQ= \begin{pmatrix} 2& 1\\ 3& 0 \end{pmatrix} et M= \begin{pmatrix} 2& 1\\ 3& 0 \end{pmatrix} comme dit dans l'énoncé

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 11:47

Tu as encore oublié l'exposant n pour Mn.

Moi :

Citation :
Mais pour n impair, il faut trouver \; Mn = M.
Ta dernière ligne est fausse. Refais le produit PDQ.
Toi :
Citation :
comme dit dans l'énoncé

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 11:52

C'est une erreur de frappe
PDQ=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3& -2 \end{pmatrix}
Et M^2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{pmatrix} donc M^n, n>1 sera \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{pmatrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 11:59

Non, et PDQ est encore faux. Faire "Aperçu" avant de poster et relire.

M3 n'est pas égal à \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0&1 \end{pmatrix}, ni M5, ni Mn quand n est impair.

Je ne vais plus être disponible pendant le repas.

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 12:22

M impaire = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3& -2 \end{pmatrix}
Fait à la calculatrice
PDQ paire=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& 1\end{pmatrix}
Impaire = \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0& -1\end{pmatrix}

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 14:12

Que veulent dire "M impaire =", "PDQ paire=" et "Impaire =" ?

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 14:29

Quand n est paire et impaire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 14:42

Je te conseille d'écrire ça autrement sur ta copie !

Bon, pour conclure, je trouve cet énoncé peu formateur.
Pourquoi ?
Une fois constaté que M2 est la matrice identité notée I2, les P et Q ne servent à rien pour trouver Mn :
Si n est pair, n = 2k où k est un entier.
Et Mn = M2k = (M2)k = (I2)k = I2.
Si n est impair, n = 2k+1 où k est un entier.
Et Mn = M2k+1 = (M2k)M = I2M = M.

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 14:45

D'accord ça m'a l'air beaucoup plus claire maintenant mais je suis toujours bloqué au problème car pas compris la question

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 14:49

Franchement le problème ne m'inspire pas non plus
Si quelqu'un d'autre passe par là...

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 14:58

Avec l'exercice on a un énoncé mais j'ai rien compris:
Dans l'exercice préliminaire on a exprimé une transformation T  dans une base de vecteurs du plan grâce à une matrice M. Cette transformation du plan peut s'exprimer dans une autre base de vecteur du plan par une matrice qui elle est diagonale. La matrice de passage de la première base vers la deuxième est celle qui a permis la diagonalisation de la matrice
Les coefficients de la diagonale s'appelle les valeurs propres de la matrice M et les valeurs  de la nouvelle base s'appellent les vecteurs propres de la matrice M associés a ces valeurs propres. Ils vérifient la propriété particulière que leur image par la transformation T leur est colinéaire. Cela peut se vérifier en effectuant les produits matrice suivants:
Les valeurs propres sont 1 et -1
Considérons l'image du premier vecteur via ses coordonnées :\begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&-2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1 \\1 \end{pmatrix}=1*\begin{pmatrix}1 \\1 \end{pmatrix}
Et l'image du second \begin{pmatrix} 2&-1\\ 3&-2\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}1 \\3 \end{pmatrix}=(-1)*\begin{pmatrix}1 \\1 \end{pmatrix}
Si cela peut vous aider

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 05-01-20 à 20:34

J'ai besoin d'aide

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 08:13

Help me please

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 08:42

Je recopie l'énoncé du problème en numérotant les questions :

1)a)Dans un repère orthonormé du plan (O,i,j) représenter le vecteur A de coordonnées (-1; 2) et construire son image A' par la transformation du plan T de matrice dans la base de vecteur (i,j) la matrice M
1)b)Dans un autre repère orthonormé du plan (O,u,v) représenter le vecteur B de coordonnées (-2,5;1,5) et construire son image B' par la transformation du plan T de matrice dans la base de vecteurs (u,v) la matrice M

2a)Dans un repère orthonormé du plan (O,i,j) représenter les vecteurs u de coordonnées (1;1) et v de coordonnées (1;3), et le vecteur A de coordonnées (-1;2)
Retrouver par une construction graphique la décomposition du vecteur A dans la base de vecteur (u,v), et donc les coordonnées du vecteur A dans la base de vecteur (u,v). 2)b)Vérifier les résultats lus graphiquement grâce au calcul des coordonnées de À dans la base de vecteurs (u,v)
2)c)Construire alors l'image du vecteur A par la transformation T de matrice dans la base de vecteur (u,v) la matrice D
Confronter ce résultat avec celui obtenu à la question 1)a)

Fais les trois figures.
Pour 2)a), il faut utiliser des parallèles.
Pour 2)b), chercher a et b réels tels que A = au+bv . Ce qui revient à résoudre le système suivant :
a+b =-1
a+3b = 2

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 14:53

Merci de l'aide

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 15:35

J'ai pas compris pour les parallèles
Je vois pas comment faire

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 16:03

En notant A1 le point défini par vecteur OA1 = vecteur A, projeter le point A1
sur la droites de repère (O,u) parallèlement à la droite de repère (O,v), on obtient A2.
Et sur la droites de repère (O,v) parallèlement à la droite de repère (O,u), on obtient A3.
Le quadrilatère OA2A1A3 est un parallélogramme.
D'où vecteurA = vecteurOA1 = .... + .... .

Posté par
lescientifikre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 16:08

Je vois pas comment on projette,

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Matrice et géométrie 06-01-20 à 16:12

Je ne le ferai pas à ta place.
Tu prends une règle, et tu projettes.
Si tu ne sais pas ce que signifie "projeter sur une droite parallèlement à une autre", tu cherches sur Internet.

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