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Matrice et suite
Bonjour à tous ! Voià je suis ici car j'ai un exercice (relativement long) à faire. J-ai réussi à faire la majorité des question mais je bloque sur certaines. J'aimerai donc si possible que quelqu'un m'aide à les comprendre et à me donner des pistes pour les faire. Voici l'énoncé :
1) M est une matrice d'odre 3 : M= (2 -2 1 / 2 -3 2 / -1 2 0)
a) vérifier que (M-I)(M+3I)=0 où O est la matrice nulle d'ordre 3 (j'obtiens le bon résultat)
b) en déduire que M-I n'est pas inversible (j'ai fait un raisonnement par l'absurde où au final je trouve des équations impossible, donc M-I non inversible)
2)M^0=I et, M^(n+1)= M^n x M
a)exprimer M² en fonction de M et I (j'ai écrit M²=(MI)²)
b)par récurrence, montrer que M^n = u(n)M + v(n)I avec u(0)=0, v(0)=1 et, u(n+1) = -2u(n)+v(n) et, v(n+1)= "u(n). (j'ai fait l'initialisation qui est bonne mais je bloque pour faire l'hérédité....)
3) a) vérifier que u(n+1)+v(n+1)=u(n)+v(n)=1 (je n'arrive pas à voir pourquoi c'est égale à 1). Déduire que u(n+1)= -3u(n)+1 (là, c'est ok)
b) on pose t(n)=u(n)-(1/4). montrer que t(n) est géométrique ainsi que son expression. (je trouve t(n)= (-1/4)x 3^n)
c)donner les expressions de u(n), v(n) et M^n (j'ai u(n)= (-1/4)x 3^n + (1/4) ; v(n) = (1/4) x 3^n + 3/4 ; pour M^n, il faut remplacer mais, faut-il que je laisse M et I tel quel ? )
4)Autre méthode pour calculer u(n) et v(n) :
a) Déterminer la matrice A telle que :
mat colonne ( u(n+1) v(n+1)) = A x mat colonne (u(n) v(n))
(je trouve A = (-2 1 / 3 0)
b)montrer que : mat colonne (un vn) = A^n x mat colonne (u0 v0)
(je n'ai pas réussi)
c) P= (1 1 /3 -1). je trouve P² = (4 0 / 0 4) ;
P^(-1) = ( 1/4 1/4 // 3/4 -1/4) ; et P^n = (1 1 / (3)^n (-1)^n)
d) calculer A'=P^(-1)xAxP (je trouve A'=(1 0 / 0 (-3))
déduire (A')^n puis A^n. (là, je vois pas comment faire pour A^n)
retrouver l'expression de u(n) et v(n) (il me faut A^n pour ça).
Voilà j'espère que c'est assez clair. J'espère que quelqu'un pourra m'aider...
bonsoir,
2)
tu utilises(M-I)(M+3I)=0 =>M²=3I-2M=
tu supposes qu'à un rang n
tu calcules
tu remplaces
par 3I-2M ...
3) tu as
Merci pour votre aide... mais, il y a un point que je n'ai pas très bien compris.
Pourquoi M²= 3I - 2M ?
il faut utiliser (M-I)(M+3I)=0 ?
4) A est exacte
pour simplifier l'ecriture je note la matrice
on a donc pour tout entier natureln
tu fais une récurrence pour montrer que
J'ai réussi la récurrence pour M^n.
Ensuite, pour la récurrence avec Kn, j'ai multiplié chaque côté par A et, j'arrive à aboutir.
Voilà voilà 
Merci de votre aide (je finierai de chercher pour a d) )
Bonjour,
En revoyant ce que j'avais fait, je me suis rendu compte d'une erreur dans l'expression de un et vn c'est (-3)^n et non pas 3^n !
Ensuite, mon expression de P^n est fausse... mais je ne vois pas pourquoi ou en tout cas, je ne vois pas où j'ai pu me tromper...
Pourriez-vous m'aider ?
Bonjour,
Pour la 4d, écris A en fonction de A', P et P-1.
Ensuite, écris A2, A3 en fonction de A', P et P-1 pour commencer et tu verras apparaitre une récurrence assez évidente.
Bonjour,
moi aussi j'essaie de résoudre cet exercice et je ne vois comment on déduit de P2 et et P-1 l'expression de Pn.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider ?
D'accord, merci beaucoup.
Mais quand je dois calculer An puis un et vn, je devrai donc toujours dissocier n=2k et n=2k+1 ?
Bonjour , j'ai cette exercice a faire , je n'arrive pas du tout à faire la récurrence pour le premier 2b) , et la 3b) je vois pas du tout comment faire cette exercice.
Même si l'exercice est fait depuis longtemps , jespére que quelqu'un pourra m'aider
Bonjour, je bloque sur la 4)d) de cet exercice : J'ai exprimé A en fonction de P‐¹, P et A' : A=A'/(P‐¹×P) soit A=D mais après je n'arrive pas à trouver la récurrence à effectuer... Merci de m'aider
Ah mince, et pourriez-vous m'aider ? Si possible j'ai réussi tout le reste mais là je bloque !
Voir ici :
Bonjour,
Pour la 4d, écris A en fonction de A', P et P-1.
Ensuite, écris A2, A3 en fonction de A', P et P-1 pour commencer et tu verras apparaitre une récurrence assez évidente.
Oui, justement, une fois avoir écrit A=P×A'×P^(-1) on doit élever au carré : cela donnerait... et là j'ai un doute :/
Bonjour,
La matrice A' est une matrice diagonale.
Commence par trouver à quoi est égal la matrice (A')n.
Ensuite, transforme par exemple A3 = A
AA en y remplaçant chacun des trois A par le produit PA'P-1 puis en simplifiant ce qui peut se simplifier.
Généralise pour An.
Cependant, il me reste une dernière question :
5) En déduire l'expression des coefficients de M^n en fonction de n.
J'imagine qu'il faut remplacer Un et Vn dans l'expression de la question 2)b) mais je bloque
Je remplace Un et Vn par les valeurs trouvées au dessus et M et I par leurs matrice respectives mais on ne peut pas effectuer le produit d'un nombre et d'une matrice, non ?
Malgrès tout ces nombreux messages je reste un peu dans le flou pour la 4)
je remet dans le contexte:
je possede une matrice p=1 1/3 -1
une matrice A= -2 1/3 0
je possède l equation
D=P^(-1)*A*P qui est égale a 1 0/0 -3
on me demande d en deduire D^n qui me donne ensuite 1^(n) 0/0 -3^n
et on me demande d en deduire An pour tout entier naturel et la je bloque
info supplémentaire A=P*D*P^-1
HELP ME PLEASE
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