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Matrice et suite
Bonjour, voila l'énoncé de mon exercice, je suis bloqué à la question 3), si quelqu'un pouvait m'aider ça serait sympa.
Merci d'avance !
ENONCE:
1 1 1
matrice A= 1 0 0
1 0 0
1) calculer A^2 et A^3 ---> fait
2) vérifier que A^3=2A + A^2 ---> fait
3) En déduire qu'il existe deux suites de nombres réels (an ) et (bn) telles que pour tout entier n>= 5 on a
An=anA+bnA2 et établir que pour tout entier n>=5 on a :
an+1=2bn
bn+1=an+bn
4a) démontrer que pour tout entier n>=5 on a : bn+1=bn+2bn-1 --> fait
4b) Déterminer b3 et b4
j'ai essayé un raisonnement par récurrence, j'ai supposé An=(n-1)A+An-1 ( grâce à la question 2)
je devrais donc avoir An+1=nA+An
mais je trouve An+1=(n-1)A²+An
bonjour
3) par récurrence
initialisation
pour n=5
A^5=A²A^3
=A²(2A+A²)
=2A^3+A^4
=2(2A+A²)+A(2A+A²)
=4A+2A²+2A²+A^3
=4A+4A²+2A+A²
=6A+5A²
donc il existe a5=6 et b5=5 tels que A^5=(a5)A+(b5)A²
Heridité:
supposons que A^n=(an)A+(bn)A²
on a
A^(n+1)=A(A^n)
=A((an)A+(bn)A²)
=(an)A²+(bn)A^3
=(an)A²+(bn)(2A+A²)
=(an)A²+2bnA+(bn)A²
=2(bn)A+(an+bn)A²
=(a(n+1))A+(b(n+1))A²
avec a(n+1)=2bn et b(n+1)=an+bn
donc vraie pour n+1
donc qq soit n>=5 : A^n=anA+bnA² avec a(n+1)=2bn et b(n+1)=an+bn
-------------voila
4b)déterminer b5 et b6
j'ai trouvé b5=5 et b6=11
4c) Ecrire un programme à la calculatrice dont l'entrée est un entier naturel n non nul et calculant bn
je crois qu'il faut ordonné l'algorithme avec Entrée, Traitement, Sortie mais je ne sais pas comment m'y prend ...
4d) On admet qu'il exsite deux réels u et v tels que pr tt entier n>=5, on a bn= u(-1)n+v(2n)
Déterminer u et v
5) exprimer pr tout entier naturel n >=5 , an en fonction de n
Je bloque aussi pour ces questions, pourriez vous m'aider svp ?
Merci
bonjour
4b)juste
dans le calcul de l'initialisation de la récurrence j'ai trouvé a5=6 et b5=5
comme b6=a5+b5 donc b6=6+5=11
c)
Entrée:
N
Traitement
I entier
a réel
b réel
c réel
initialisation:
a prend 6
b prend 5
pour I=1 à N faire
c prend a
a prend 2b
b prend c+b
I prend I+1
fin boucle pour
fin traitement
Sortie
afficher N et b
fin algorithm
d)
bn= u(-1)^n+v(2)^n
on a b5=5=-u+32v et b6=11=u+64v
donc 16=96v donc v=1/6
u=11-64v=11-64/6=(66-64)/6=1/3
donc bn=(2(-1)^n+2^n)/6
5) on a an=2b(n-1)=(-2(-1)^n+2^(n-1))/3=(2^n -4(-1)^n)/6
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