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Niveau Prepa (autre)
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Matrice et suites.

Posté par
Trost
10-03-19 à 11:45

Bonjour, voilà un exercice simple, mais pour lequel j'ai du mal à conclure.

Soit A = \begin{pmatrix} 1 & 1 &0 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_{3} (R).

Montrer que, pour tout entier naturel n, A^{n} s'écrit sous la forme A^{n} = \begin{pmatrix} 1 & a_{n} &b_{n} \\ 0 & 1 &a_{n} \\ 0 &0 &1 \end{pmatrix} \in M_{3} (R).
Former les relations de récurrence vérifiées par a_{n} et b_{n}.
En déduire A^{n}.


J'ai procédé par récurrence. L'initialisation nous permet de poser que a_{0} = b_{0} = 0. Ensuite, on trouve A^{n+1} = \begin{pmatrix} 1 & 1+a_{n} & a_{n}+b_{n} \\ 0 & 1 &1+a_{n} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Donc il me semble qu'on obtient bien ce qu'on veut, en posant a_{n+1} = 1 + a_{n} et b_{n+1} = a_{n} + b_{n} : ce sont les relations de récurrence. Mais j'ai l'impression que ma consigne me demande de former ces relations après la démonstration, or pour moi elles font visiblement partie de la démonstration. Ensuite, pour en déduire A^{n}, je remarque que a_{n} = n et, en tâtonnant (car je n'arrive pas, pour ce cas, à utiliser la relation de récurrence), b_{n+1} = \frac{n-1}{2}n. Donc, d'une certaine manière, je peux trouver  A^{n}, mais pas vraiment par déduction, donc je me suis peut-être tompé quelque part.

Merci d'avance, si vous parvenez à éclairer la fin de la démarche.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 12:00

Ben si, tu as bien trouvé l'expression de An, tout va bien.

pour bn il te suffit d'écrire
bn - bn-1 = n-1
bn-1 - bn-2 = n-2
------------------------------------------------ etc...

et ajouter toutes ces égalités membre à membre. ça donne bien ce que tu as trouvé
bn = 1+2+...+(n-1) = n(n-1)/2

Posté par
carpediem
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 12:39

salut

il ne me semble pas que a_0 = 0 ...

Posté par
Trost
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 12:51

@Glapion Merci, effectivement c'est une bonne méthode.

@carpediem Il me semble que si, carA^{0} = I_{3}.

Posté par
carpediem
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 13:44

ha oui ... désolé j'ai pris A !!!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 15:19

Bonjour,
Pour trouver l'expression de (an) par déduction, c'est facile :
La suite (an) est une suite arithmétique de raison 1 .
Pour (bn) , on peut conjecturer puis démontrer par récurrence en utilisant
bn+1 = n + bn .
Il me semble y avoir une coquille dans b_{n+1} = \frac{n-1}{2}n
b2 n'est pas nul .

Posté par
veleda
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 15:31

bonjour,
on peut vérifier les résultats en écrivant A=I+T
la matrice T est nilpotente d'ordre 3  donc An=I+nT+n(n-1)/2T²

Posté par
Glapion Moderateur
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 16:05

oui c'est bn = n(n-1)/2 voir mon post de 12:00

Posté par
alb12
re : Matrice et suites. 10-03-19 à 18:08

@Trost
salut,
un moyen rapide de verification.
ouvre une session Xcas pour firefox en utilisant ton navigateur,
https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/xcasfr.html
et tape en ligne de commandes:
M:=[[1,1,0],[0,1,1],[0,0,1]];matpow(M,n);



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