Bonjour

Une matrice complexe à valeurs propres distinctes est diagonalisable, avec les valeurs propres sur la diagonale. Il est facile de montrer qu'il existe M> 0 tel que dans une boule de rayon strictement inférieur à M Il n'y ait que des matrices inversibles.

merci, vous voulez dire encore à valeurs propres différentes ? Je ne vois pas comment vous faites...

Pour n=2:
Si D est diagonale à valeurs propres distinctes, par exemple
. Soit
Dans l'ensemble des matrices de la forme telles que et on n'a que des matrices qui ont des valeurs propres distinctes.
Naturellement, tout ceci est à mettre en forme, sans oublier qu'une matrice diagonalisable n'est pas forcément diagonale.

Bonjour,

On peut raisonner sur le polynôme caractéristique sans faire appel à son discriminant. Si le polynôme caractéristique est  scindé à racines simples, il suffit du théorème des fonctions implicites pour montrer que tout polynôme unitaire proche est aussi scindé à racines simples. Et comme les coefficients du polynômes caractéristique sont des fonctions polynomiales, donc continues, des coefficients de la matrice ...

Bonjour,

On peut également montrer que l'ensemble A des polynômes à racines simples est ouvert dans .
L'ensemble de matrices voulu est l'image réciproque de A par la fonction polynôme caractéristique...

Bonjour,

merci   GBZM  je vais passer par là !

Avec plaisir.