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Matrice et transposée

Posté par cointro (invité) 22-02-07 à 13:02

Bonjour,
Je voudrais savoir comment montrer qu'une matrice M et sa transposée ont les mêmes valeurs propres et que les sous espaces propres associés sont de même dimension. J'imagine qu'il faut partir du fait que rg M = rg TM (c'est de notre cours) mais je ne vois pas comment continuer.

Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Matrice et transposée 22-02-07 à 13:17

Bonjour

Soit 3$\rm \lambda\in sp(M), alors 3$\rm \det(M-\lambda I)=0
Or :
3$\rm \det(M-\lambda I)=\det(^{t}\(M-\lambda I\)\)=\det(^{t}M-\lambda I\) d'où 3$\rm \lambda \in sp(M')

Posté par
Nightmarere : Matrice et transposée 22-02-07 à 13:30

Pour la dimension des sous espaces propres associés, en utilisant le théorème du rang c'est direct.

Posté par cointro (invité)re : Matrice et transposée 22-02-07 à 14:33

excuse moi mais en fait j'aurai dû préciser que je suis en ECS et du coup, je ne sais pas vraiment ce que c'est que "det"...
Serait-il possible d'avoir une petite traduction?
Merci encore

Posté par
Nightmarere : Matrice et transposée 22-02-07 à 14:33

Tu n'as pas vu le déterminant d'une matrice?

Posté par cointro (invité)re : Matrice et transposée 22-02-07 à 16:29

et bien en fait ça n'est pas au programme de ECS. Pour les transposées le seul truc que l'on connait c'est que le rang d'une matrice et le rang de sa transposée sont égaux...

Posté par
Nightmarere : Matrice et transposée 22-02-07 à 16:39

Comment as-tu définie les valeurs propres d'une matrice dans ton cours?

Posté par cointro (invité)re : Matrice et transposée 22-02-07 à 16:40

on sait que p est valeur propre d'une matrice ssi f-pId est non inversible.

Posté par cointro (invité)re : Matrice et transposée 22-02-07 à 16:42

je pense qu'il faut s'en servir mais je ne vois pas vraiment comment...

Posté par
Nightmarere : Matrice et transposée 22-02-07 à 16:43

Bon eh bien il s'agit de montrer que 3$\rm M-pId est inversible si et seulement si 3$\rm ^{t}M-pId l'est et le problème est réglé.


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