Bonjour,
J'ai un exercice de spé math qui me pose pas mal de problèmes ce week-end, en fait je n'ai pas vraiment compris le fonctionnement de sigma (pour les sommes) ce qui m'empêche de le manipuler pour faire apparaître une égalité.

On se déplace sur les sommets (A, B, C et D) d'un tétraèdre sans jamais rester deux fois de suite sur le même sommet.
1/a/ A partir d'un sommet donné, quels sommets peut-on rejoindre ?
Réponse : Les trois autres sommets.

b/ En déduire les coefficients nuls de la matrice M de transition puis déterminer cette matrice, sachant que l'on fait l'hypothèse d'une marche aléatoire équiprobable.
Réponse : M=

2/ Calculer quelques puissances successives de M à l'aide d'un logiciel.
On remarquera qu'il y a deux types de coefficients. Notons U_n les coefficents diagonaux de Mⁿ et V_n les autres.

a/Quel lien semble-t-il exister entre les suites (U_n) et ( V_n) ? On ne s'intéressera donc par la suite qu'à la suite (U_n) et pour tout n1, on pose  :

Réponse : V_n=U_n+1

b/Quelle conjecture peut-on émettre sur le terme général de la suite (b_n) ?
Réponse : b_n=3^n-1

c/D'après les puissances successives de Mⁿ écrire les 6 premiers termes de (a_n)
Réponse : a₁=0 ; a₂=1 ; a₃=2 ; a₄=7 ; a₅=20 ; a₆=61

d/ Effectuer les sommes de deux termes consecutifs et émettre une conjecture sur la formule donnant a_n+1+a_n, pour tout n1
Réponse : a_n+1+a_n=3^n-1

e/En déduire une expression de a₅ et de a₄ et en déduire qu'on l'on peut conjecturer que la formule donnant le terme général a_n est, pour tout n2 :
a_n=(-1)ⁿ
Réponse : je vous passe la démonstration, on trouve bien la conjecture.

g/ En déduire la forme des termes généraux de (U_n) et (V_n).
Réponse : U_n=
V_n=

C'est ici que mes problèmes surviennent, le peu que j'ai fait c'est mon prof qui me l'a montré, sur le coup je pensais avoir compris mais, je ne peux rien refaire seul...
3/a/ Démontrer que 1/3U_n+2/3V_n=V_n+1
Réponse : pour simplifier le calcul, je l'ai fait avec U_n+2V_n=3V_n+1
2V_n=2*=

C'est tout ce que j'ai réussi à faire et je doute encore que ce ne soit juste... Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer le procédé pour cette question svp ?
Merci d'avance de m'avoir lu