Bonjour Fractal (ça fait un bail, dis dons !)

Attention à ne pas confondre :

Lorsque tu écris la matrice d'une application linéaire tu as le choix des bases. Tu peux donc prendre une base différente au départ et l'arrivée.

Quand tu as un espace de départ et un espace d'arrivée différents, c'est normal, mais tu peux également faire ça même si les espaces de départ et d'arrivée sont identiques (bien que ça ne soit pas pratique pour faire des calculs).

En fait, dire que la matrice d'une application de rang r est dans des bases ad hoc (remarque l'utilisation du pluriel) signifie que tu prends des bases différentes au départ et à l'arrivée.

Kaiser

Bonjour Kaiser,

Oui, ça doit faire effectivement un bail.
Ceci dit, j'ai été très présent sur l'île ces derniers temps car je prépare des examens pour fin août (paye tes vacances ...)  

Pour ce qui est de notre présente "affaire", j'ai peur de ne pas tout saisir ...

soyons un peu plus précis.

Imaginons que tu disposes d'un endomorphisme u de de rang 2 et de sa matrice A dans la base canonique.

dans bases adaptées, la matrice de u est .

ça veut simplement dire que tu peux écrire où P et Q sont inversibles.

Je crois que non, effectivement, je ne comprends pas

Nos posts se sont croisés, donc attends, je lis.

Tu veux dire comme ça plutôt non ?

oui, désolé, faute de frappe.

Ok, merci, donc je regarde.

Je reformule si tu veux bien.

Endomorphisme u de de rang 2 et de sa matrice A dans la base canonique.

Donc dans bases adaptées, la matrice de u est .

Donc et sont équivalentes, donc il existe telles que  

Ok là dessus.

Mais alors, tout endomorphisme serait équivalent à un projecteur alors ?  

Dans mon dernier message, on a donc que la matrice de u dans des base a priori différentes est .

Seulement, ce n'est pas forcément un projecteur car et en général, ça ne vas pas donner A.

est-ce clair ?

attention, on parle de matrice équivalente et non d'endomoprhismes équivalents.

Je formulerais plutôt :

"Toute matrice carrée est équivalente à la matrice d'un projecteur"

Ouh là là là là là ........................ J'ai pris une balle là !

C'est devant mes yeux et je ne comprends pas.

sans mauvais jeu de mot, revenons aux bases.

Je vais te poser deux questions pour qu'on soit sur la même longeur d'ondes

1) sais-tu comment former la matrice d'une application linéaire dans des bases données ?
2) sais-tu ce qu'est un changement de base et comment en effectuer un ?

Aucun mauvais jeu de mot là-dedans.

1°)- Une application linéaire est entièrement définie par la donnée des images de ses vecteurs de bases. (donc en colonne, on auras les   - je sais, c'est mal dit mais je pense que tu me comprendras)

2°)- Oui (du moins je pense).

OK, très bien.
Une dernière question :

Si tu as deux matrices carrées A et B, et également P et Q inversibles, peux-tu me dire ce que tu penses des deux situations suivantes ?

1)
2)

Ah .....

Le 2 : et sont 2 matrices équivalentes (mais dans mon cours c'est marqué "il existe et telles que ")

Pour la 1, j'ai plutôt l'habitude de voir ou avec des matrices diagonales et triangulaires.

Peu importe, ça revient au même que l'on mette -1 ou non dans le "il existe".
Plus précisément, est aussi une matrice inversible.

Ceci dit, ça sera important de savoir où il y a un -1 lorsque tu devras effectivement faire un changement de variable, mais laissons ça de côté pour le moment.

1) Oui, en général, on fait ce genre de choses mais la notion existe aussi pour deux matrices quelconques. Au passage, tu ne l'as pas dit, mais dans ce cas, on dit que A et B sont deux matrices semblables.

2) oui


Maintenant, est-ce que tu sais ce que ces deux égalités signifient au niveau des endomorphismes represéntées par P et Q ?

Ces deux endomorphisme P et Q sont des isomorphismes.

oula, faute de frappe. Je voulais dire "représentés par A et B", au temps pour moi.

2)- Je dirais que A et B sont 2 matrices équivalentes, elles représentent le même endomorphisme exprimé dans des bases différentes.

1)- L'endomorphisme est diagonalisable (ou trigonalisable).

............. et c'est là que je me plante !

2) OK, mais ...

Heuuuuuuuuuuuu ............

Là je t'avoue que je ne sais plus où on en est  

le problème est justement là. C'est ce que je voulais savoir quand tu disais "dans des bases différentes" (qu'est-ce qui est différent au juste).
C'est le même souci quand tu dis " les mêmes bases ou pas"


1) lorsque tu détermines une matrice d'application linéaire , comme E est a priori différent de F, on prend une base de E et une base de F qui sont différentes.

2) Si par contre, tu as une application linéaire , en principe, on ne se casse pas la tête on exprime une matrice de u en considérant la même base au départ et à l'arrivée.

3) Maintenant, toujours dans le cas de , on peut choisir si ça nous amuse de prendre deux bases différentes quand bien même les espaces sont égaux.

bref, pour répondre à ton message de 16h06 :

a) A et B représentent le même endomrphisme u
b) A est supposée construite en considérant la même base au départ et à l'arrivée
c) Si avec , B est la matrice de u dans des bases différentes

donc

Oui, toutafé et c'est même plus clair avec l'utilisation du mot "couple" comme tu l'as fait.

Kaiser

Ah d'accord, je pensais que vous étiez une seule et même personne. Au temps pour moi !!

Je le dis parce que la confusion a déjà eu lieu.
Par contre on a dû se croiser auparavant avec le pseudo "Leonegres" ...

Je reste interrogatif quant à cette phrase :

Cela ne veut quand même pas dire que tout endomorphisme peut être "assimilé" à un projecteur !

Hummmmmmm .............

Ne pas confondre "matrice" avec "application linéaire", et réciproquement.

euh...oui, mais où veux-tu en venir ?

A essayer de mettre tout cela en corrélation pour que je comprenne bien.

Citation :
De plus, on vérifie aisément que ; c'est donc bien la matrice d'un projecteur (qui n'a rien à voir avec u)

Pour résumer :

1) pour ta première citation

a) la réponse est clairement non si la matrice dont tu parles est écrite avec la même base au départ et à l'arrivée (et c'est sur ce quoi je me suis basé pour répondre à ta question)

b) si tu n'imposes pas cette condition, alors oui, mais là, on va un peu dans les trucs tordus parce que si l'on pousse le vice plus loin, ça veut dire par exemple que la matrice identité est la matrice de n'importe quel automorphisme(mais encore une fois, en prenant écrivant la matrice dans deux base distinctes).
Le problème c'est qu'après avoir dit ça, on ne peut rien dire de plus car on ne peut rien en faire.
un truc tout bête : si A est la matrice de u dans deux bases bien distinctes, alors a priori, n'a rien à voir avec (aucun rapport entre les deux).
Bref, choisir des base différentes pour construire une matrice n'a qu'un but théorique mais aucunement pratique.

2) pour la deuxième citation

En dimension finie, chaque application linéaire en général, et chaque endomorphisme en particulier, est unique mais possède une infinité de matrices (sauf l'application linéaire nulle qui n'est représentée que par la matrice nulle) et encore plus si j'ose dire si la base de départ et la base d'arrivée sont différentes.

À l'inverse, chaque matrice est unique (de par ses coefficients) mais là où ça devient subtile c'est qu'elle représente une infinité d'applications linéaires (sauf la matrice nulle qui ne représente que l'application nulle).

Dans le cas qui nous occupe, prenons l'exemple de .

(i)cette matrice est celle de u dans un couple de bases distinctes a priori. En particulier, n'a pas de signification concrète vis-à-vis de u.

(ii) on peut aussi dire que est la matrice d'un certain endomorphisme que l'on va noter f dans une base (donc la même au départ et à l'arrivée), auquel cas f n'a rien à voir avec u et on pourra alors affirmer que est la matrice de dans cette même base, d'où

Je n'ai qu'un mot à dire mais que je ne répéterai jamais assez : Merci.

Mais je t'en prie !