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Matrice nilpotente & exponentielle
Bonjour
Je cherche à montrer que:
"Si N est une matrice nilpotente alors pour tout t réel non nul, on a exp(t*N) différent de l'identité "
En fait, j'avais une démonstration assez compliquée et très longue, et il parait qu'il existe une démonstration qui tient en une ligne....
J'ai beau me creuser, je ne vois vraiment pas, donc si quelqu'un avait une petite idée, cela m'arrangerait bien
Merci
lolo
si N non nulle est nilpotente alors il existe n>0 tel que N^n = 0 et pour tout i<n Nî =/= 0
alors exp (tN) = Id + tN + ... + t^(n-1) N^(n-1)
selon ce qu'il y a au dessus, n est au moins égal à 1 donc le développement de exp tN ne peut pas etre Id (il y a au moins Id + tN)
Bonjour CrimsonKing et Kaiser et merci pour votre aide!
--->Kaiser(désolée du retard
)
Oui, si N est nilpotente, comme l'a marqué CrimsonKing, exp(tN) est de cette forme (à un factoriel près...)
Mais en fait,
il y a au moins Id + tN
C'est cet argument qui me dérange....
Bonjour lolo (pas de problème )
si tu veux on peut raisonner avec le polynôme minimal.
En effet, si N est nilpotente, la somme est finie et s'arrête au terme d'ordre k-1 où k est l'ordre de nilpotence de N.
exp(tN)-I est du type P(N) où P est un Polynôme non nul de degré égal à k-1 donc P(N) ne peut pas être nul : le polynôme minimal de tN est qui est de degré k.
Kaiser
Excuse moi mais P(N) ne peut pas être nul car:
le polynôme minimal de tN est X^k qui est de degré k.
tu est d'accord sur le fait que P est degré exactement k-1 (car N est nilpotente d'ordre k) et que P n'est pas le polynôme nul (comme N n'est pas la matrice nulle, alors son ordre de nilpotence est au moins égal à 2 et donc exp(tN)-I comprend au moins le terme tN) ?
Kaiser
Bonjour (je m'incruste)
Pour un endomorphisme nilpotent, on peut choisir une base par rapport à la quelle la matrice N de cet endo a des termes non nuls uniquement au-dessus de la diagonale (on peut faire mieux avec Jordan, mais ceci suffit). Alors les puissances plus grandes de N ont des 0 au-dessus de la diagonale et tN ne peut pas s'annuler.
ensuite, comme N est nilpotente d'ordre k alors le polynôme minimal de N est .
Par définition du polynôme minimal, il ne peut y avoir de polynôme non nul de degré strictement inférieur à k qui soit un polynôme annulateur de N, donc, P étant un polynôme non nul de degré strictement inférieur à k, P(N) est non nul.
Au passage, salut Camélia !
Kaiser
il ne peut y avoir de polynôme non nul de degré strictement inférieur à k qui soit un polynôme annulateur de N
Merci beaucoup Kaiser !
Merci aussi Camélia de t'intéresser à mon problème (en fait, dans ma démonstration, j'étais justement partie avec des matrices de Jordan, j'avais réduit N et ses puissances, inventé des bases, enfin bref, j'avais fait 3 pages
)
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