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Matrice par blocs
Bonsoir,
On note A une matrice carrée d'ordre n telle que rg(A) = r
On pose M une matrice carrée (n*p) telle que :
(une matrice par blocs avec des A sur la diagonale et des 0 partout ailleurs)
J'aimerais bien montrer (de manière rigoureuse) que rg(M) = p*r
J'ai noté B1 = (e1, ...,en) une base de la 1ere colone, ..., Bn = (enp-n+1, ...,enp) une base de la n-ième colone.
Soit
On a rg(B1) = r, ...
Mon souci c'est que je n'arrive pas à montrer proprement qu'alors rg(B) = rg(B1) + ... + rg(Bn) = pr
L'idée serait de passer par l'application linéaire telle que M soit sa lecture matricielle.
Merci
Si Ei = Vect(Bi)
On a
Il faudrait peut être montrer quelque chose comme : les Fi sont en somme directe
Bonsoir
Je crois d'abord que tu t'es trompé dans tes notations n et p
les Bi, Ei, Fi existent pour i de 1 à p
Il est clair que les sont en somme directe dans
L'idée principale est que les sont égaux à
Dès qu'on a ça, le problème est réglé !
Voici une idée alternative (j'associe les matrices aux endomorphismes qu'elles représentent dans mes notations):
Si rg(A)=r, alors soit B=(b_1,...,b_r) une base de Im(A) dans R^n.
Comment construire (intuitivement, mais l'intuition est la clé de beaucoup de choses), à partir de B, une base de Im(M) dans R^(np) ? Ensuite, on peut démontrer que c'est bien une base.
à quoi ressemble les vecteurs de la forme Mx quand x est un vecteur de R^(np) ?
Si est de rang
il existe des matrices inversibles
telles que
.
En utilisant alors les blocs tu devrais t'en sortir uniquement par des calculs matriciels.
bonjour,
il me semble qu'il suffit d'appliquer le théorème du rang,
M=m(f), sous espace vectoriel de E de base
en gardant les notations utilisées de matrice A
avec la somme directe, il suffit d'additionner
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