Désolé j'ai oublié de mettre X² et X³ en vert

Bonjour,

Je ne comprends pas tes calculs. Si P est le polynôme 1, alors, P(X+1)=P(X-1)=1

Pour le polynôme X, P(X+1)=X+1, etc.

Non c'est pas ça que j'ai fait
Pour le polynôme P(X)=1 j'ai déduit que P''(X)=0 et donc il reste dans mes calculs que P(X+1)-P(X-1)

Et j'ai appliquer la formule P(x+) et developper l'expression

P(X)= X ,P''(X)=0 aussi donc j'ai déduit qu'on trouve la même chose que pour un polynôme qui vaut 1

Je sais ça mais après
Après  n'esce pas il faut utiliser  l'application f défini par
P(X)—-> P(X+1)−P(X−1)−2P′′(0)X

dans mes calculs ?

Un jour j'ai fait en classe un exo où
P(X)——->P'(X)+P(0)X

Ensuite pour déterminer la matrice dans la base canonique de (1,X,X² )on a calculer que vaut
P(X)=1
P(X)=X
P(X)=X²



Le cas P(X)=1 notre prof a déduit que P'(X)=0 et donc que P'(X)+P(0)X=X


Etc même chose pour les autres


Moi j'ai suivi le même privilège et j'ai appliqué ceci à l'exercice

salut

soit le polynome P(x) = 2x + b

peux-tu calculer P(x + 1) et P(x - 1) ?

soit le polynome P(x) = ax + b

peux-tu calculer P(x + 1) et P(x - 1) ?

soit le polynome P(x) = 0x + b

peux-tu calculer P(x + 1) et P(x - 1) ?

P(X+1)=2(X+1)+b=2X+2+b
P(X-1)=2(X-1)+b=2X-2+b

P(X+1)=aX+a+b
P(X-1)=aX-a+b

P(X+1)=P(X-1)=b

alors maintenant comprends-tu ce que te dis larrech  ?

Oui je sais ce qu'il voulait dire  mais pourquoi on a pas utilisé la définition f(P) et p(x+)

donc tu n'as pas compris ce que dis larrech ... ni même peut-être l'énoncé ...

l'endomorphique f associe à tout polynome P le polynome Q défini par :

f(P)(x) = Q(x) = P(x + 1) + P(x - 1) - 2P"(x)

si P(x) = 1
si P(x) = x
si P(x) = x^2
si P(x) = x^3

alors que vaut Q(x) ?

Juste une petite erreur de votre part c'est
f(P)=P(X+1)−P(X−1)−2P′′(0)X

Pour P(X)=1

Q(X)=1-1-0=2
P(X)=X
Q(X)=X+1-(X-1)-0
Q(X)=0


P(X)=X²[/vert
Q(X)=(X+1)²-(X-1)²-4
Q(X)=X²+2X+1-(X²-2X+1)-4
Q(X)=4X-4=4(X-1)

[vert]P(X)=X³
Q(X)=(X+1)³-(X-1)³-2(6X)
Q(X)=6X²+2-12X
Q(X)= 6X²-12X+2

Si ce sur j'si écris est correct ,pourquoi on a pas utilisé la définition de P(X+) donné dans l'exo

Bonsoir
bien sûr que si, tu l'as utilisée ! avec alpha = 1 ou -1 selon les cas, et avec les coeff de tes polynômes ! (0,0,0,1) pour P(X)=1 etc

Ah donc j'ai utilisé alpha sans le savoir okkk

ouais ... erreur d'énoncé pardon ...

si P(x) = x^3 alors :

P"(x) = ... ?
P"(0) = ... ?

P''(X)=6X
P''(0)=0

Ok je vois mon erreur merci

De même

Donc dans chaque cas p''(0) vaut 0

J'ai refait les calculs

P(X)=1 on a Q(C)=2
P(X)=X on a Q(X)=2
P(X)=X² Q(X)=4X
Q(X)=X³ Q(X)=6X²+2

Donc f(1)=2(1)+0(X)+0(X²)+0X³
f(X)=2(1)+0(X)+0(X²)+0(X)

f(X²)=0(1)+4(X)+0(X²)+0(X³)

f(X³)=2(1)+0(X)+6(X²)+0(X³)


Esce que c'est bon ?

oui ...

Parfait merci

Je ne vois pas comment tu fais pour trouver que f(1)=2, moi je trouve 0

Bonjour,

Il me semble aussi que

bon ben alors c'est pas bon !!!

et si tu travaillais avec méthode et pour chaque polynome faire comme ici : Matrice/Polynômes

Bonsoir Princesyb,
Il semble que tu n'as pas très bien compris ce qu'est la matrice représentative  de cet endomorphisme f exprimée dans la base
Cette matrice est constituée des vecteurs colonnes images par f des vecteurs de la base B exprimés dans la base B.
Tu as donc à déterminer  les images par f des vecteurs P(X) = 1, P(X) = X, etc
Pour P(x) = 1 , polynôme constant, P(X) = 1 pour tout X donc P(x+1) = P(x-1) = 1 et P''(X) = 0
Pour, par exemple P(X) = X ^3, que valent P(X+1), P(X-1) , P''(X) ?
Je te   laisse continuer.

P(X)=X³

P(X+1)=(X+1)³=X³+3X²+3X+1

P(X-1)³=x³+3X²(-1)+3X(-1)²+(-1)³

=X³-3X²+3X-1



P''(X)=(3X²)'=6X

P(X+1)-P(X-1)-2P'´(X)(0)
=6X²+2?
?

Oui,

Si tu as refait tous tes calculs , écris la matrice qui représente dans la base

f(1)=0
f(X)=2

lake @ 27-01-2022 à 13:10

Bonjour,

Il me semble aussi que

Ah ok je vois l'erreur moi je pensais que p'´(X)=0 à chaque fois merci

f(1)=0
f(x)=2
f(x²)=0
f(x³)=6x²+2

Oui. Et maintenant calcule quand



enfin, du moins si le coeur t'en dit

Merci

f(1)=(a+b+c+d)-(a+b+c+d)=0
f(x)=[a+b(x+1)+c(x+1)²+d(x+1)³)-[a+b(x-1)+c(x-1)²+d(x-1)³)-2(2cx)

= 2(b+2cx+3dx²+d)-4cx
=2b+4cx+6dx²-4cx+2d
=(2b+2d)+6d²


f(x²)=a+b(x+1)²+c(x+1)⁴+d(x+1)⁶-[a+b(x-1)²+c(x-1)⁴+d(x-1)⁶-2(2x)
= (4b+8c+12d-4)x+(8c+40d)x³+12dx⁵




f(x³)=a+b(x+1)³+c(x+1)⁶+d(x+1)⁹-[a+b(x-1)³+c(x-1)⁶+d(x-1)⁹-0=
=(2b+2d)+12cx+72dx³+40cx³+…(dépasse degré 3)



Esce que c'est comme ça ?

Bonsoir,

En l'absence de larrech:

Tu viens de déterminer la matrice représentative de dans la base

La matrice représentative de dans cette base (avec ) est :

  

Comment calculer ?

Bonjour à tous,

@princesyb Si j'ai posé la question c'est parce que je me doutais que les choses n'étaient pas très claires pour toi dans  cet exercice. Manifestement, je ne m'étais pas trompé.

0n considère l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à , disons, pour fixer les idées, sur le corps des réels, soit , et non l'ensemble des fonctions polynômes de même de degré.

Cet espace est muni d'une base canonique, et tout polynôme de l'ensemble s'exprime comme combinaison linéaire de ceux-là.

En particulier est ici un polynôme et non une valeur donnée à une variable. On pourrait le noter , mais pour simplifier l'écriture (et aussi il est vrai par analogie avec l'aspect "fonction") on le note  .
Puis on définit l'endomorphisme .

Si, alors
et on a déjà calculé les transformés par des vecteurs .

On en aussi  déduit la matrice qui représente dans la base canonique, et je voulais que tu l' utilises pour calculer comme l'a indiqué lake

bonsoir

Bonsoir,

Je n'approuve pas tes commentaires en totale contradiction avec la "bienveillance" prônée par le site : ** L'ESPRIT ÎLIEN NE DOIT PAS S'ÉTEINDRE ET NE S'ÉTEINDRA PAS *

Un commentaire de mon cru qui me vaudra peut-être la cabane : tu vieillis mal.

Bonjour à tous,
Effectivement...lafol, de tels propos n'ont rien à faire chez nous. Il est urgent de le comprendre.

Ok merci je pense maintenant avoir compris
f(P(X))=a(0)+2b+c(0)+d(6X²+2)
f(P(X))=(2b+2d)+0(X)+6d(X²)+0(X³)

Donc la matrice P dans la base (1,X,X²,X³)est:




L'exercice il restait 2questions
1)Déterminer une base du noyau

(w,x,y,z)Ker(f) alors 2y+2w=0
6w=0

Donc:
=x+z


Calculer une base de l'image
y et w sont les variables liés  donc les colonnes 1 et 3 forment une base de Im(f) à savoir
et

Tu fais une encore une confusion. Il faut que tu décantes tout ça calmement, à tête reposée.

La matrice qui représente dans la base est celle que tu avais écrite le 28 à 8h25, soit

Quant à la matrice qui représente dans la même base, c'est la matrice colonne

On l'obtient soit comme tu avais commencé , soit en effectuant le produit

Le polynôme lui-même  s'identifie à


En ce qui concerne le noyau et l'image, il faut que tu caractérises les polynômes P qui les constituent.

Je me doutais aussi que c'etait une matrice a une colonne
Merci je comprends mieux

En fait le noyau et l'image que j'ai déterminé c'etait pour la matrice représentative de f dans la base (1,X,X²,X³)

Esce que mes calculs précédents étaient bon ?

On voit ce que tu as voulu faire, mais c'est  mal présenté.

Je ne vois pas l'utilité de changer les notations (à moins qu'elles ne te soient imposées par l'énoncé).

1/ Noyau . C'est l'ensemble des polynômes , tels que , donc tels que . Ils sont par conséquent de la forme . C'est un sous ensemble de dimension , dont une base est

2/Image, les vecteurs et (2ème et 3ème colonne de la matrice ) sont indépendants et constituent une base de qui est également de dimension 2, comme on pouvait s'y attendre.
Nota : une autre base est évidemment

Tu as indiqué 2 vecteurs nuls pour cette base , faute de frappe je suppose.

Ok je vois
Ah oui une erreur je voulais dire la colonne 2 et 4 forment une base de Im(f) a savoir la colonne associé à f(X) et f(X³)

Merci infiniment à tous pour votre aide