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Matrice positive

Posté par
Endrews
13-03-18 à 19:12

Bonjour à tous !

Je voudrais savoir comment amorcer une démonstration prouvant qu'une matrice est définie positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives, de manière efficace ?
Merci d'avance pour vos pistes !

Cordialement

Posté par
lionel52
re : Matrice positive 13-03-18 à 19:25

Tu diagonalises ta matrice !
Alors <MX,X> = \sum_i \lambda_i x_i^2

Posté par
verdurin
re : Matrice positive 13-03-18 à 20:54

Bonsoir,
encore faut-il montrer qu'une matrice définie positive est diagonalisable.

De façon plus directe :
si la matrice a une valeur propre négative alors en posant X un vecteur propre associé à on a <MX,X>=<X,X> qui est négatif.

On en déduit :
Si M est définie positive alors toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

Bien entendu, il faut encore s'occuper de la réciproque.

Posté par
jsvdb
re : Matrice positive 13-03-18 à 21:51

Bonjour à tous

La matrice M =\bigl(\begin{smallmatrix}\alpha & 1\\ -1 & \alpha\end{smallmatrix}\bigr) vérifie bien que si X \in \mathcal M_{n,1}(\R) alors X^TMX > 0 dès lors que \alpha > 0, elle est donc définie positive, mais elle n'est pas diagonalisable, donc on ne parlera pas de valeurs propres.

Donc je pense que l'énoncé a omis une hypothèse vitale de symétrie qui permet de parler de toutes les vp de la matrice.

Posté par
Endrews
re : Matrice positive 15-03-18 à 18:44

lionel52 @ 13-03-2018 à 19:25

Tu diagonalises ta matrice !
Alors <MX,X> = \sum_i \lambda_i x_i^2

Bonjour !

Je suppose que X représente un vecteur propre de M ?

Posté par
Endrews
re : Matrice positive 15-03-18 à 19:14

Et juste en guise de précision, je n'ai pas de matrice à proprement parler, je dois juste démontrer ce résultat ^^"

Posté par
jsvdb
re : Matrice positive 15-03-18 à 19:19

Donc c'est un énoncé faux !

Posté par
Endrews
re : Matrice positive 15-03-18 à 19:31

Mon énoncé est le suivant :
"Montrer qu'une matrice symétrique réelle S est positive (respectivement strictement positive) si et seulement si ses valeurs propres sont toutes positives (respectivement strictement positives"

Il me semble avoir oublier de préciser l'hypothèse de symétrie, je m'excuse

Cordialement

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