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Matrice puissance

Posté par
lea75014 15-01-23 à 17:29

Bonjour,

J'ai la matrice suivante et je dois calculer A^k pour k entier naturel
On peut écrire A= 2I + J avec J^3=0
A=\begin{pmatrix} 2 &3 &1 \\ 0& 2 &2 \\ 0&0 & 2 \end{pmatrix}

J'ai donc utilisé la formule du binôme et j'obtiens :
A^k= 2^n+n*J*2^(n-1)+((n-1)/2)*J^2*2^(n-2) mais je ne sais pas comment simplifier ensuite pour avoir une matrice en fonction de n

Posté par
Ulmierere : Matrice puissance 15-01-23 à 17:52

Avant d'utiliser la formule du Binôme, il faut déjà t'assurer que les matrices commutent !
Ici, l'une d'elles est l'identité, donc c'est OK.

Pour n \geqslant 2,
\\ \begin{array}{lcl} \\ A^n &=& \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} 2^{n-k}\underbrace{J^k}_{\text{nul si }k > 2} \\ &=& 2^n I + 2^{n-1}nJ + 2^{n-3}n(n-1)J^2 \\ \end{array} \\

N'oublie pas le I derrière le 2^n !

Et ensuite, où est le problème ? Tu ne sais pas calculer J^2 ?

Posté par
verdurinre : Matrice puissance 15-01-23 à 17:54

Bonsoir,
tu as oublié de mettre des I dans ton résultat.
Si on les rajoute on a bien une matrice exprimée en fonction de n.

Posté par
verdurinre : Matrice puissance 15-01-23 à 17:55

Salut Ulmiere.
Et mes excuses pour poster des doublons des tes messages.

Posté par
Ulmierere : Matrice puissance 15-01-23 à 17:57

Salut verdurin.
C'est pas grave, ça les met en exergue

Posté par
lea75014re : Matrice puissance 15-01-23 à 18:06

d'accord super merci j'avais oublié le I oui, mais j'aimerai savoir s'il est ensuite possible d'écrire une matrice avec les éléments à l'intérieur en fonction de n et si oui comment ?  

Posté par
lea75014re : Matrice puissance 15-01-23 à 18:08

pour la diagonale "du milieu" je vois qu'on peut écrire 2^n mais pour les autres éléments je ne vois pas, désolée je débute sur le chapitre des matrices, sans doute que la réponse est simple !

Posté par
carpediemre : Matrice puissance 15-01-23 à 19:38

salut

il n'y a guère d'intérêt à écrire une matrice avec les coefficient en fonction de n et il est préférable de garder sous la forme A^n = 2^n I + 2^{n-1}nJ + 2^{n-3}n(n-1)J^2

si vraiment tu insistes alors n'oublie par que si M = (m_{ij})  alors pour tout réel k  kM = (km_{ij})

Posté par
lea75014re : Matrice puissance 15-01-23 à 21:03

D'accord merci de vos réponses. Bonne soirée à vous.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Matrice puissance 15-01-23 à 21:20

\Large\boxed{A=\begin{pmatrix}2&3&1\\0&2&2\\0&0&2\end{pmatrix}=2I+J~,~J=\begin{pmatrix}0&3&1\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}~,~J^2=\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}~,~J^3=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}

La formule du binôme donne :

\Large\boxed{A^n=2^nI+n2^{n-1}J+n(n-1)2^{n-3}J^2=\begin{pmatrix}2^n&3n2^{n-1}&n2^{n-1}+6n(n-1)2^{n-3}\\0& 2^n &n2^n \\ 0&0 & 2^n \end{pmatrix}}

soit après simplification :

\Large\boxed{A^n=\begin{pmatrix}2^n&3n2^{n-1}&n(3n-1)2^{n-2}\\0&2^n&n2^n\\0&0& 2^n\end{pmatrix}} sauf erreur bien entendu


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