Bonsoir,

vérifie ton énoncé, stp, il me semble que quelque chose cloche, notamment avec
a_n+1 = 0.8(1/3 b_n +1/3c_n + 1/3d_n) +0.05

ce n'est pas plutôt
a_n+1 = 0.8(1/3 b_n +1/3c_n + 1/3d_n) + 0.015 + 0.05a_n    ??

bonjour  justine33254
hello Leile  
_{je pense que la formule est la bonne.
je m'explique.}

par facilité et pour expliquer j'utiliserai le verbe "marcher" plutôt que "se déplacer"

la proba d'être en A à l'étape n+1 est la somme des probas :
a)  être en A à l'étape n et rester en A (par un saut)  
b) ne pas être en A à l'étape n et aller en A (marche ou saut)

---
a)  p(A_n+1 / A_n)=  0.2 * 1/4 = 0.05
donc
p(A_n+1 A_n)= 0.05 a_n

0.2 pour la proba de sauter
1/4 parce que le jeton a 4 possibilités de sauts : A, B, C ou D

---

b) supposons qu'à l'étape n le jeton soit en B, avec une proba b_n.
il peut aller en A de 2 façons
- soit en marchant vers A, avec une proba de 0.8 * 1/3  
- soit en sautant vers A, avec une proba de 0.2 * 1/4

donc
p(A_n+1 B_n)= 0.8 * 1/3 bn  + 0.2 * 1/4 b_n  = 0.8 * 1/3 bn  + 0.05 b_n  

et de même pour les points  C et D

ainsi
a_n+1
= 0.8 * 1/3 b_n + 0.8 * 1/3 c_n + 0.8 * 1/3 d_n
+ 0.05 b_n + 0.05 c_n + 0.05 d_n
+ 0.05 a_n

= 0.8 * [1/3 b_n +1/3 c_n + 1/3 d_n]  + 0.05 [b_n +c_n +d_n ] + 0.05 a_n

or an +bn + cn + dn = 1,     et  donc  bn + cn + dn = 1 - an

d'où
a_n+1  
= 0.8 (1/3 b_n +1/3 c_n + 1/3 d_n)  + 0.05 (1- a_n) + 0.05a_n
= 0.8 [1/3 b_n +1/3 c_n + 1/3 d_n]  + 0.05

Bonjour,
Je suis d'accord avec carita

J'ai fait ces calculs sans voir son message :

a_n+1 = a_n ( 0,2(1/4) ) + (1-a_n) ( 0,2(1/4) + 0,8(1/3) )

a_n+1 = 0,2(1/4) + (1-a_n) ( 0,8(1/3) )

bonjour à toutes !

Oui, merci carita, en effet tu as tout à fait raison !
J'ai été trop vite hier soir...
Merci d'être intervenue !
Bonne journée  

bonjour Sylvieg,

oui, en effet, on se demande pourquoi l'énoncé de la question s'arrête en cours de route.
peut-être cette simplification fait-elle l'objet de la question suivante (suite),
ou bien cette forme est demandée à cause de matrices à venir (titre de l'énoncé)...

je quitte le topic
bonne journée à vous deux

On trouve la forme donnée par l'énoncé en utilisant un arbre avec 4 branches au départ, pour les événements A_n , B_n , C_n et D_n .

merci carita du coup je justifie en utilisant la formule des probabilité celles des partitions ?
Ensuite on doit en déduire une matrice M carrée d'ordre 4 et une matrice colonne K de dimension 4 pour que l'on est Un+1 = 0.8M * Un+K mais je ne vois pas du tout comment on peut la trouver en fait :/ MErci

Si tu nous donnait un énoncé complet dès le départ, ce serait plus facile de t'aider.
Essaye d'écrire l'énoncé tel qu'il est, avec toutes ses questions.

Entre autres, quelle est la définition de u_n ?

On considère un pion que l'on déplace d'un sommet à l'autre sur les côtés d'un tétraèdre.
Avec une proba de0.2 le pion saute aléatoirement sur l'un des sommets du tétraèdres  (y compris celui dou il se trouve)
Avec une proba de 0.80 le pion se déplace de facon équiprobable sur l'un des arretes partant dou il se trouve et rejoint le sommet adjacent.

On note pour tout entier naturel n , Un = (matrice colonne: an bn cn dn )
an bn cn et dn les probabilité désignant respectivement que le pion soit sur le sommet A B C ou D .  au bout de n étapes.a0 , b0 c0 et d0 dont des réels positifs tels que
a0+b0+d0+c0=1


1. a. Justifier que pour tout entier naturel n

an+1 = 0.8(1/3 bn +1/3cn + 1/3dn) +0.05 : FAIT Merci Carita

1b  déterminer une matrice M carrée d'ordre 4 et une matrice colonne K de dimension 4 pour que l'on est Un+1 = 0.8M * Un+K

alors svpl comment trouve t on ces matrices K et M ? MErci

Bonjour,

Comme , on a :

.

Avec l'expression de la question précédente 1a, tu peux déjà remplir la 1ère ligne de ta matrice M !!

Pour le reste, il suffit d'exprimer b_n+1, c_n+1 et d_n+1 en fonction de a_n, b_n, c_n et d_n comme pour la question 1...

Pourquoi M correspond à Un+1?

Tu as avec l'aide de l'expression calculée en 1a :



Tu vois que tu retrouves bien :



Le reste de tes matrice M et K sont à compléter !!

En exprimant correctement , et en fonction de an, bn, cn et dn !! Comme pour la question 1a...