En partant du principe que est symétrique et que est anti symétrique, on peut écrire que


Je te laisse faire l'application numérique.

John, je reprends l'idée de franz qui est très pertinente et je vais tenter de t'expliquer ce qu'il faut faire dans les grandes lignes. C'est une démonstration par l'absurde. Suppose qu'il existe une matrice A d'ordre n ainsi que deux matrices B et C d'ordre n , ces matrices étant respectivement symétrique et anti-symétrique.
Tu as donc une premiere égalité : A = B + C
Ensuite tu fais la transposée de A et tu as une 2e égalité(grâce aux propriétés de B et C en hypothèse) :
transposée(A)= B - C
Tu as ainsi deux égalités grâce auxquelles tu arrives assez facilement à exprimer B et C en fonction de A. Tu trouves alors les composantes que franz t'a données , c'est-à-dire : B = 1/2 ( A + transposée(A)) et :
C = 1/2 ( A - transposée(A))
Tu en déduis alors que si B et C existent , elles sont uniques.
Tu repars alors dans l'autre sens en considérant les deux matrices B et C que franz t'a données. Tu redémontres alors que B et C vérifient les propriétés du départ, c'est-à-dire 3 choses :
A = B + C
transposée(B) = B
transposée(C) = C
Tu peux alors conclure. C'est   ce qu'on appelle en cours une démonstration par analyse-synthèse.

N.B: je perds un peu la tête , je t'ai dit que c'etait une démo par l'absurde puis ensuite par analyse-synthèse. C'est une démonstration par analyse-synthèse point barre dsl

merci a vous deux, vous m'avez bien aider