Bonjour
raisonne par analyse-synthèse : si M s'écrit S+A, avec S symétrique et A antisymétrique, alors ... (vois-tu quoi calculer pour avoir l'occasion d'utiliser les hypothèses ?)

une fois que tu auras obtenu des infos sur S et A, tu passeras à la synthèse

Bonjour
Par raisonnement Analyse synthèse :
Analyse
Soit MM_n()
Supposons US_n (ensemble des matrices symétrique)
Et VA_n(ensemble des matrices antisymétrique )
Tel que M=U+V
^tM =^tU+^tV=U-V et M=U+V
On a obtenu donc un système
Donc on obtient après calcul
U=
Et V=
Synthèse
Posons U=
Et V=
•U+V=
•^tU=
Et donc ^tU=U => US_n
•
Et donc ^tV=-V => VA_n
Merci beaucoup à vous
2) une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Bonjour,

Pour la question 2, il suffit de se souvenir de la définition de "matrice symétrique" et aussi de ce qu'est la transposée d'un produit.

Bonjour
D'accord pour 2)
Supposons qu'on a AB=BA <=> ^T(AB)=^T(BA)
<=> ^T(AB)=^TA^TB
<=> ^TAB=AB (car A et B sont deux matrice symétrique)
Donc AB symétrique
Merci beaucoup

C'est très mal rédigé, même si tu as vu l'idée.
Fais des phrases qui ont un sens.

Bonjour
D'accord

Bonsoir
ce n'est pas vraiment mieux ...
on ne sait pas si la supposition porte sur l'équivalence, ou sur l'égalité

et la conclusion donne l'impression que tu n'as montré qu'une implication , pas sa réciproque

Bonjour
Oui c'est vrai je suis désolé j'ai montré juste cette implication (<==) et il me manque l'implication réciproque
(=>) On a AB est symétrique <=> ^T(AB)=AB <=> ^TB^TA=AB
Puisque A est B sont deux matrices symétrique
Alors on en déduit que ^TA=A et ^TB=B
D'où le résultat demandé BA=AB

tu aurais pu le faire par équivalences, c'est ce que tu avais écrit, mais il faut le rédiger proprement

Bonjour
D'accord
[quote]Soient A et B ∈ M_n(K) deux matrices symétriques distinctes
On a AB est symétrique <=> ^T(AB)=AB <=> ^TB^TA=AB
Puisque A est B sont deux matrices symétrique
Alors on en déduit que ^TA=A et ^TB=B
D'où le résultat demandé BA=AB
Merci beaucoup

ce n'est toujours pas une équivalence ...
un des soucis c'est que tu mélanges des phrases en français avec du formalisme mathématique, ça ne se passe pas toujours très bien, ce genre de mélange

Bonjour
D'accord je vais essayer de reformuler tout ça
•Soit (A,B) ∈ S_n()( l'ensemble des matrices symétrique)
*Démontrons par condition nécessaire et suffisante  que AB = BA.
* Supposons que AB = BA et démontrons qu'alors AB ∈ S_n().
^T(AB)=^T(BA)
=^TA^TB
Puisque A et B sont symétriques :
^T(AB) = AB
* Supposons que AB ∈ S_n() et montrons qu'alors AB = BA.
Puisque AB ∈ S_n()
AB=^T(AB)=^TB^TA
Et puisque (A,B) ∈ S_n()²
AB = BA
Merci beaucoup

Bonjour

Merci beaucoup

Comme rédaction des deux implications c'est beaucoup mieux
Tu ne veux pas essayer de rédiger l'équivalence , directement ?