Niveau Reprise d'études

Matrice symetrique et diagonalisation

Posté par Brahim156 27-06-19 à 21:20

Bonjour

Ma question est simple

Dans differents cours consultés il est dit que toute matrice symetrique est diagonalisable. Et j avais pris cette proposition comme acquise sauf qu en revenant vers un exercice de matrice, je tombe sur un contre exemple . Une matrice carrée composée que de 1 est bien symetrique sauf qu elle n est pas diagonalisable ( en plus elle est de rang 1)

Merci pour l aide

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 21:27

Bonjour
alors deux choses : 1) toute matrice symétrique RÉELLE est diagonalisable. les matrices symétriques complexes ne le sont pas toutes
exemple $\begin{pmatrix}1&i\\i&-1\end{pmatrix}$ n'est pas diagonalisable (je te laisse le vérifier)

2)la matrice Attila est diagonalisable ! il est clair que $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = 2. \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ donc on a un sous espace propre associé à la valeur propre 2 de dimension au moins 1, et puisque comme tu l'as remarqué, elle est de rang 1, elle a un noyau de dimension 1, autrement dit un espace propre de dimension 1 associé à la valeur propre 0. On a donc tout ce qu'il faut pour trouver une base de vecteurs propres.

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 21:45

Hello !
Et quand on calcule la carré d'Attila, on trouve n Attila.
Donc le polynôme minimal d'Attila est $X^2 -nX$ qui est scindé avec racines simples, donc diagonalisable.

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 21:47

merci pour la réponse claire et rapide

en effet pour ton même ce type de matrice est donc diagonalisable

ici dans ton exemple à la valeur propre 0 est associé le vecteur propre (1,-1) et à la seconde vp 2 le vecteur propre (1,1)

et don cette matrice est bien égale à $\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1& 1 \end{bmatrix} =P\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix} P^{-1}$

merci encore

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 22:05

Ce n'est pas parce qu'une matrice est de rang 1 qu'elle n'est pas diagonalisable
Diag(1,0,0,0, ... ,0,0,0,0,0) est de rang 1 et est diagonale.

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 22:23

oui
excusé un jeune retraité qui reprend ses cours de maths pour le plaisir !!

confusion due certainement aux trop plein de theoremes d'algebre ingurgités ces derniers jours et je reviendrai surement vers vous pour d 'autres éclaircissements

merci encore pour l'aide

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 22:32

Il n'y a pas de soucis, tu n'as pas à t'excuser ...

Posté par re : Matrice symetrique et diagonalisation 27-06-19 à 22:36

avec plaisir