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Matrice symétrique et triangulaire

Posté par
Mathes1 28-03-22 à 23:40

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
Soit Mn(R) l'anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans .
1) Montrer que pour toute matrice A ∈ Mn(R), on a tAA est symétrique.
2) Soit T ∈ Mn(R) une matrice triangulaire supérieure. Montrer
que tT T = TtT si et seulement
si T est diagonale.
Indication : Écrire tT T = (aij )
et TtT = (bij ), puis comparer aii et bii.
Merci beaucoup d'avance
--------------------------------
Voici mes suggestions ;
1) pour que TAA soit symétrique il faut que
T(TAA)=TAA
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Matrice symétrique et triangulaire 29-03-22 à 08:33

salut

quelle est la transposée du produit AB : ^T(AB) = ...  ?  (cours)

Posté par
Mathes1re : Matrice symétrique et triangulaire 29-03-22 à 21:46

Bonjour
D'accord
T(AB)=TBTA

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice symétrique et triangulaire 29-03-22 à 22:30

bonjour
oui, et donc, t(tAA) = ?

Posté par
Mathes1re : Matrice symétrique et triangulaire 29-03-22 à 22:50

Bonsoir
D'accord
Soit A une matrice dans Mn()
montrons que tAA est symétrique
•T(TAA)=TAT(TA)
=TAA
Merci beaucoup

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice symétrique et triangulaire 29-03-22 à 23:11

tu réalises maintenant que tu l'avais depuis le départ ? il faut que tu prennes un peu plus d'initiatives, que tu oses !

Posté par
Mathes1re : Matrice symétrique et triangulaire 31-03-22 à 10:02

Bonjour
Est ce que c'est juste ce que j'ai fait
Merci beaucoup

Posté par
larrechre : Matrice symétrique et triangulaire 31-03-22 à 10:06

Bonjour,

OK pour ce que tu as écrit hier à 22h50,  lafol te l'avait déjà dit.

Posté par
Mathes1re : Matrice symétrique et triangulaire 01-04-22 à 01:17

Bonsoir
Pour 2) je propose
Soit T ∈ Mn(R) une matrice triangulaire supérieure
C'est à dire T=aij=\begin{pmatrix} a_{1,1}& a_{1,2} & .....& a_{1,n}\\ 0 & a_{2,2}& ....& a_{2,n}\\ ..... &....&.....&....\\0&....&0&a_{n,n}\end{pmatrix}
•T est triangulaire supérieure si et seulement si :
{\displaystyle \forall i>j, \quad a_{i,j}=0}\forall i>j,\quad a_{{i,j}}=0
•matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls
Une indication s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice symétrique et triangulaire 01-04-22 à 11:29

prendre l'initiative, ici, ça pourrait être calculer les deux produits de T par sa transposée ...

Posté par
Mathes1re : Matrice symétrique et triangulaire 02-04-22 à 18:50

Bonjour
Le produit de TTT et TTT ne me donne pas la même chose
La transposé d'une matrice symétrique est une matrice antisymétrique

Citation :
et j'ai trouvé cette information importante :
Si A = (ai,j)i,j et B = (bi,j)i,j sont des matrices Mn() triangulaires supérieures (respectivement inférieures), le i-ème coefficient diagonal de AB est ai,i bi,i. Autrement dit, la diagonale de AB est le produit composante par composante des diagonales de A et de B.
Mais j'ai pas bien compris

Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
carpediemre : Matrice symétrique et triangulaire 02-04-22 à 18:58

pour 2/ on te donne une indication ...

si T = (t_{ij}) alors ^tTT = (a_{ij}) $ et $ T^tT = (b_{ij})

exprimer les a_{ij} $ et $ b_{ij} en fonction des t_{ij}

Posté par
carpediemre : Matrice symétrique et triangulaire 02-04-22 à 18:59

je t'invite à commencer au brouillon avec une matrice T de dimension 3 x 3 ... puis de généraliser ...

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice symétrique et triangulaire 03-04-22 à 22:09

Le coup de la transposée d'une symétrique qui serait anti symétrique , je crois qu'on ne me l'avait encore jamais fait ! C'est fort, ça !


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