bonjour boubou2704

1) pour trouvez les valeurs propres il faut résoudre l'équation:

det|(2-l)   2    -1  |=0
   | 0    (4-l)  -1  |
   | 0      6  (-1-l)|

après calcul j'ai trouvé l'équation:

(2-l)(l²-3l+2)=0

ssi (2-l)(l-1)(l-2)=0

donc l=2 valeur propre double et l=1 valeur propre simple.

si e(x,y,z) est un vecteur propre associé à l=2 alors il faut résoudre le système:

2y-z=0
et
2y-z=0
et
6y-3z=0

ce qui est équivalent à 2y-z=0 c'est l'équation d'un plan vectoriel. Unvecteur générique e(x,y,z) de ce plan s'écrit alors:

e(x,y,z)=(x,y,2y)  ; car z=2y
        =(x,0,0)+(0,y,2y)
        =x(1,0,0)+y(0,1,2)

les vecteurs propres associés à 2 sont donc e21(1,0,0) et e22(0,1,2)

le vecteur e(x,y,z) associé à la valeur propre l=1 vérifie:

x+2y-z=0
et
3y-z=0
et
6y-2z=0

ce qui est équivalent à:
x+2y-z=0
et
3y-z=0
qui est la droite intersection des deux plans x+2y-z=0 et 3y-z=0. Un vecteur générique e(x,y,z) peut s'écrire:

e(x,y,z)=(y,y,3y)=y(1,1,3)

donc un vecteur propre associé à l=1 est e13=(1,1,3)

2)
dans la base (e21,e22,e13) M est diagonale est s'écrit:
  (2 0 0)
D=(0 2 0)
  (0 0 1)

si P est la matrice de passage de la base canonique vers (e21,e22,e13) alors:

  (1 0 1)
P=(0 1 1)
  (0 2 3)

dans ce cas D=P^(-1)MP

3)D=P^(-1)MP donc M=PDP^(-1)

M^n=PD^nP^(-1)

    (2^n 0   0)
D^n=(0   2^n 0)
    (0   0   1)

4)exp(Mt)=Somme(n=0à+oo; (t^n/n!)(M^n))
         =Somme(n=0à+oo; (t^n/n!)(PD^nP^(-1)))
         = PSomme(n=0à+oo; (t^n/n!)(D^n)P^(-1)

                           (exp(2t)   0       0  )
Somme(n=0à+oo;t^n/n!(D^n)= (   0    exp(2t)   0  )=exp(Dt)

                           (   0      0    exp(t))
donc exp(Mt)=Pexp(Dt)P^(-1)

5) m'équation diff s'écrit:

x'(t)=Mx(t) avec x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t)) et x'(t)=dx(t)/dt.

les solutions sont de la forme :

x(t)=exp(Mt)xo(t) ; avec xo(t)=(1,-1,-1)

et exp(Mt)=Pexp(Dt)P^(-1)

voila

bon courage