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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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matrice valeurs propres

Posté par
Klivi
24-12-22 à 16:47

Bonjour, j'aurais besoin d'une piste pour les 2 questions de cet exo d'algèbre svp

Etant donnée la matrice


A =
1 a b c d
b 3 c d a
c d 7 a b
d a b 9 c
a b c d 10

1. formuler une condition suffisante sur a, b, c et d garantissant que les valeurs propres de A sont toutes distinctes.

2.  Formuler une condition suffisante sur a, b, c et d garantissant que la matrice A est symétrique définie positive.

Posté par
Klivi
re : matrice valeurs propres 24-12-22 à 18:29

Je pense qu'il faut utiliser le théoreme des cercles de Gershgorine mais je vois pas comment

Posté par
Klivi
re : matrice valeurs propres 24-12-22 à 19:19

Ah c'est bon j'ai réussi la premiere question, mais j'aurais besoin d'une petite indication pour la deuxieme

Posté par
Ulmiere
re : matrice valeurs propres 24-12-22 à 20:02

As-tu essayé de calculer le polynôme caractéristique de A sous forme factorisée ?

Comment traduire 1) via ce polynôme ?
Comment traduire 2) via ce polynôme ?

Posté par
Klivi
re : matrice valeurs propres 24-12-22 à 20:07

Le problème est que cela donne des calculs beaucoup trop longs, il doit surement y avoir une méthode plus simple

Posté par
GBZM
re : matrice valeurs propres 25-12-22 à 12:26

Une condition suffisante pour les deux : a=b=c=d= 0.

Posté par
Klivi
re : matrice valeurs propres 25-12-22 à 17:07

Ah bah oui en fait c'etait evident, merci bien

Posté par
GBZM
re : matrice valeurs propres 25-12-22 à 18:13

Je suppose que la personne qui a posé l'exercice avait autre chose en tête, mais elle n'avait qu'à ne pas poser l'exercice de cette façon.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : matrice valeurs propres 25-12-22 à 19:37

Bonsoir


Je suppose que la matrice A est réelle.

Une condition suffisante pour la 2. est \Large\boxed{a=b=c=d~,~|a|<\frac{1}{4}} sauf erreur de ma part bien entendu



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