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Matrice - valeurs propres et vecteurs propres

Posté par
Tedsoo 05-05-23 à 13:16

Bonjour,

je dispose de cette matrice A=\begin{pmatrix} 1&1 &-1 \\ 0&1 &0 \\ 1&0 &1 \end{pmatrix}

Je dois déterminer ses éventuelles valeurs propres, puis les vecteurs propres de ces valeurs.

det(A-\lambda I)=0\Rightarrow \begin{vmatrix} 1-\lambda &1 &-1 \\ 0&1-\lambda &0 \\ 1&0 &1-\lambda \end{vmatrix} =0 \Rightarrow (1-\lambda )[(1-\lambda )²+1]=0\Rightarrow -\lambda ^{3}+3\lambda ²-4\lambda +2 =0

On constate que 1 est racine évidente.

On aboutit donc à : (\lambda -1)(-\lambda ²+2\lambda -2)=0\Rightarrow \lambda =1

Le polynôme du second degré admet un discriminant négatif.

Du coup :

Pour \lambda =1 \Rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x+y -z =x \\ y=y \\ x+z=z \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\lbrace\begin{matrix} y=z \\ y=y\\ x=0 \end{matrix}\right.

J'en conclue qu'un vecteur propre est donné par : \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}

Ce qui me perturbe est le y=y

Merci de votre aide,

Posté par
GBZMre : Matrice - valeurs propres et vecteurs propres 05-05-23 à 14:24

Bonjour,
Pourquoi es-tu perturbé ? Ton système est en fait équivalent à \left\{\begin{aligned}x&=0\\z&=y\end{aligned}\right. ; L'ensemble des solutions est une droite vectorielle.

Posté par
Tedsoore : Matrice - valeurs propres et vecteurs propres 05-05-23 à 14:27

Ah ok,

je le saurai pour la prochaine fois de ne pas être perturbé par ça !

Merci professeur !

Posté par
lafol Moderateurre : Matrice - valeurs propres et vecteurs propres 11-05-23 à 17:36

Bonjour
peut-être aurais-tu été moins perturbé en l'écrivant un peu différemment :

\left\{ \begin{matrix}x=0\\y=y\\z=y\end{matrix}\right.

qui traduit (x,y,z) = (0,y,y) = y(0,1,1) ?


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