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Matrices
bonjour,
Soient D = diag ( a1...an) (matrice diagonale à coefficients diagonaux a1...an) et P une matrice de Mn(C- inversible telles que
M = PDP^-1 est a coefficients entiers relatifs.
Montre qu'il existe h dans IN* tel que M^h = In si et seulement si les a1...an sont les racines de l'unité.
Comment déterminer le plus petit h verifiant M^h=In, a partir des a1...an?
merci d'avance
Bonjour Redman
tu es train de faire le sens droite gauche, c'est bien ça ?
Dans ce cas : comme les sont des racines de l'unité, De quelles formes sont ces complexes ?
Kaiser
si et seulement si les a1...an sont les racines de l'unité.
les racines de l'unité (donc n-ième ?) ou bien des racines de l'unité ?
Kaiser
justement pour la réciproque, j'ai un doute : si n=3, si tous les valent -1 et P est la matrice identité.
M est bien à coefficients entiers
Mais l'implication gauche droite est mise en défaut avec h=3 car -1 n'est pas une racine cubique de l'unité.
Kaiser
Bonjour Redman et kaiser
C'est clair que l'ordre des racines n'a rien à voir avec la taille de la matrice. Moi, ce qui me trouble c'est que je ne vois pas trop où on a utilisé le fait que M est à coefficients entiers. A moins qu'il y ait une suite?
De toute façon, une matrice diagonalisable vérifie Mh=Id si et seulement si ses valeurs propres sont des racines de l'unité et le plus petit h est le ppcm de l'ordre des racines.
!
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