La donnée de a+d et de ad-bc te permet d'avoir la trace et le déterminant de ta matrice A, par suite tu as directement le polynôme caractéristique:

P(X)=X²-tr(A)X+det(A)=X²-1, je te laisse conclure.

Pour h0(A), la question est sous quelles hypothèses?

Pour h₀(A), c'est à la suite de: montrer que A est diagonalisable sur R et que a+d = 0 et que ad-bc = -1 ... sachant que la matrice A est cyclique et admet 2 valeurs propres réelles et distinctes

Pour l'autre, ok, mais comment cela prouve que la matrice A est nécessairement cyclique et que les racines sont distinctes?

Utilise Cayley-Hamilton.

Pour h₀(A) ou pour la réciproque?

Aaa d'accord, je vois ... on a P(A) = 0, donc A² = I, donc A est cyclique et a des racines distinctes, c'est ca?

Pour les racines distinctes tu sais que le polynome caractéristique est X²-1 donc tu les as déja.

ok, oui merci.

Pour ton h0(A), on a montré que A=Id dans le cas où 1 est valeur propre double donc h0(A)=1 dans ce cas.

Merci pour ces explications ...

J'ai quand même un problème sur une question que je pensais pouvoir faire, mais je ne pense pas que mon explication convienne:
Sachant que A est une matrice cyclique admettant une valeur propre double, qui vaut 1, montrer qu'il existe une matrice inversible P, à coefficients réels, dont l'inverse est notée P^-1 et un réel t tels que:
A=PTP^-1 où T = (1,0,t,1) avec 1,0 en 1ere colonne et t,1 en 2e colonne

Ce qui m'mbête est la façon d'obtenir des "1" sur la diagonale, peux-tu m'aider stp?

A admettant une valeur propre double, tu sais déja qu'on a un vecteur propre e1 tel que Ae1=e1.

Maintenant on complète pour avoir une base {e1,e2}.  Dans cette base ta matrice est de la forme (1 0; e f) avec f non nul.

Si tu considères la base {e1,e2/f} alors ta matrice est de la forme {1 0;e/f 1} dans cette base.

Oublie mon dernier message, c'est n'importe quoi(enfin la fin...).

Le début c'est bon ensuite tu complètes ta base et dans cette base ta matrice est triangulaire, ensuite on remarque que sur la diagonale on a nécessairement un 1 car sinon A possèderait une autre valeur propre.

d'accord, merci beaucoup de ton aide, je ne pense pas avoir d'autres questions pour le moment, je vais continuer à avancer, car ce dm est très long.
Merci beaucoup

Une autre petite question personnelle qui me vient: si, cette fois-ci,  = -1 est valeur propre double ( à la place de =1 ) ... que se passe-t-il? Rien ne change?

Si -1 est valeur propre double tu peux montrer que si A est cyclique alors nécessairement A=-Id.

ok, donc en fait, dans la matrice T, à la place des 1 en diagonale, on aura des -1?
Et si = eⁱ (nombre complexe de module 1), on aura des eⁱ en diagonale à la place des 1 dans la matrice T??

Si tu as une valeur propre complexe elle ne peut être double vu qu'il y aura sa  conjuguée qui est aussi racine du polynôme caractéristique.

Oui, c'est vrai.

Bonjour,
Je me permet d'intervenir puisque j'ai le même devoir a faire pour la rentrée (D'ailleurs merci beaucoup, vous m'avez déja permis de pas mal avancer dans le problème...)

Mais une question reste pour moi en suspens dans le début du problème... Après avoir déterminé les seules 5 valeurs possibles pour a+d, je dois alors donner les valeurs possibles de (ad-bc) et je ne vois pas comment faire le lien entre les valeurs de a+d et celles de ad-bc

Bonjour Julie,

a+d c'est la trace(somme des valeurs propres) tandis que ad-bc est le déterminant(produit des valeurs propres).

Ok en effet, merci beaucoup...

Bonjour,

Ayant un prof très pointu sur la rédactoin qui me reproche souvent de me répéter, un point de rédaction me chagrine encore:

Lorsque l'on cherche les 5 valeurs prises par a+d, trace de la matrice, est-il réellement nécessaire de distinguer les cas valeurs propres réelles et valeurs propres complexes conjuguées puisque les valeurs réelles se retrouvent dans le cas complexe?

Merci d'avance

Bien oui vu que dans le cas complexe conjugué on utilise le fait que si z est racine d'un polynome à coefficients réels, son conjugué aussi et on a nos 2 racines. Si ta racine est réelle, elle est pas nécessairement double(cad pas forcément sa conjuguée)..

Bonjour à tous les deux

J'ai une autre question à laquelle je ne vois pas comment répondre:
On considère une matrice A cyclique, n'admettant pas de valeur propre réelle.
J'ai montré que A était diagonalisable sur C.
J'ai également trouvé que la valeur de ad-bc était 1.
Mais je suis coincé ici:
Montrer qu'on a nécessairement a+d = 1, ou a+d = 0 ou a+d = -1.

Pourriez-vous m'aider svp?
Merci d'avance

On a déja traité cette question non, la trace vaut e^(ia)+e^(-ia)=2cos(a) et la trace est entière donc les seules valeurs possibles de cos(a) sont 0,1,-1,1/2,-1/2 mais comme les valeurs sont non réelles on élimine 1 et -1 donc il reste cos(a)=0,1/2,-1/2 ce qui donne bien les valeurs attendues pour la trace.

Moi j'ai dit que puisque, les deux valeurs propres sont complexes et conjuguées, on a a+d=exp(ip)+exp(-ip)=2cos(p) avec p différent de 0 modulo pi et cos(p) entier vu que a+d entier.
Du coup, il reste comme valeur possible de cos(p) -1/2, 0 et 1/2 soit a+d= -1, 0 ou 1...

Par contre je suis en galère pour une des questions d'après... Je dois montrer que toute matrice 2x2 a coeff dans Z telle que d=1 - a et bc =-a² + a - 1 est cyclique, n'admet pas de valeur propre réelle et est telle que a+d=1...

J'ai bien a+d=1, j'ai montré qu'une telle matrice n'admet pas de valeur propre réelle, a savoir qu'en l'occurrence les 2 valeurs propres sont complexes et conjuguées et forment une matrice diagonale mais j'arrive pas a prouver qu'une telle matrice est cyclique...

Merci d'avance

Petite erreur de frappe Julie c'est 2 cos(p) qui est entier.

Dans ta question tu supposes donc que ta matrice est à coeffs dans Z, que d=1-a et bc=-a²+a-1 et tu veux montrer qu'elle est cyclique.

Le fait qu'il n'y ait pas de valeur propre réelle est en hypothèse ou c'est toi qui a montré ça?

C'est moi qui l'est montré... (avec le polynome caractéristique)

ok merci, oui on l'a déjà traité, mais je ne savais pas comment faire pour éliminer les cas 1 et -1 ...

Pour Julie, j'ai dit que si on avait ces conditions, alors a+d = 1 et ad-bc = 1
Or, le polynôme caractéristique de A est: X²-(a+d)X+ad-bc = X²-tr(A)X+dét(A)
Donc finalement, le polynôme caractéristique de A est: X²-X+1, de discriminant négatif, donc n'admet pas de racine réelle ... donc A n'admet pas de valeur propre réelle

De plus, par Hamilton Cayley, on a, si P est le polynôme caractéristique de A:
P(A)=0 A² = A-I A³ = A²-A = -I car A²-A+I=0 A⁴ = -A A⁵ = -A² A⁶ = -A³ = I car A³=-I
Donc A est cyclique

Donc A est cyclique, n'a pas de valeur propre réelle, et est telle que a+d = 1, d'où la conclusion voulue ...

Ah oui! Merci beaucoup

En fait tu as le polynôme caractéristique donc tu peux en déduire directement les valeurs propres.

Oui ça marche aussi avec Cayley, bien vu

Je suis coincé sur la dernière question, qui est toute bête, mais ce qui me gêne est le fait qu'il y ait plusieurs valeurs.

En fait, tout au long du dm, on doit déterminer les valeurs de h₀(A) en fonction du type de matrice.
On obtient, pour toute les matrices étudiées:
h₀(A) {1,2,3,4,6}
Déterminer le plus petit commun multiple de tous ces entiers h₀(A).

Pourriez-vous m'aider svp?

La tu peux trouver toute seule quand même, regarde combien de puissances de 2,3 il doit y avoir..

A oui, désolé, je suis mal réveillée ... enfin plutôt endormie

T'as pas à être désolée mais la je préfère que tu trouves toute seule(c'est bien plus simple que ce que t'as trouvé au-dessus par exemple). Le plus petit commun multiple ça doit être déja un multiple de tous ces nombres(et il y en a pas de plus petit).

Et voila, j'ai (enfin) terminé et voulais vous remercier tous les deux pour votre aide précieuse...

De rien

Quel était le but final du problème?

Pour moi l'énoncé s'arrêtait a donner le PPCM de tous les h0(A) trouvés... Donc il doit y avoir une suite que je n'ai pa eu...

Ah j'en sais rien c'était une simple question ça s'arrête surement ici, le but était alors de vous faire un peu manier ces matrices cycliques