Bonsoir, voici l'énoncé deux aquariums A et B d'un magasin d aquariophilie sont communicants. On a constaté que chaque jour 80% des poissons de l'aquarium A passent dans l'aquarium B et que 45% des poissons de l'aquarium B passent dans l'aquarium A. On définit pour tout n > ou égal à 1 , la matrice colonne Xn = (a indice n
b indice n)
où a indice n désigne la proportion de poissons de l'aquarium A et b indice n désigne la proportion de poissons de l'aquarium B, n jours après le premier jiur de l'observation.
On suppose que le premier jour d'observation les populations de poissons sont équireparties entre les 2 aquariums.
1. Calculer la proportion de poissons dans chaque aquarium le 2e jour d'observation.
b. Montrer qu'il existe une matrice carrée M telle que pour tout n > ou égal à 1 on a X indice n+1 = MX indice n où M = ( 0.2 0.45
0.8 0.55 )
c. Déterminer la proportion de poissons dans chaque aquarium le 10e jour d'observation.
2. Déterminer un état X stable pour les flux de circulation des poissons entre les deux aquariums c'est à dire telle que X = MX.
3.a. On note P = ( 0.36 0.36 et Q = ( 0.64 -0.36
0.64 0.64 ) -0.64 0.36 ),
calculer PQ et QP.
c. Démontrer que pour tout n > ou égal à 1 on a P^n = P et Q^n = Q
d. Démontrer que pour tout n > ou égal à 1 on a M^n = P + (-0.25)^n × Q
4. Donner alors l'expression de a indice n en fonction de n puis déterminer sa limite. Interprèter.
Alors pour la 1 je trouve 0.325 pour p (A2) et 0.625 pour p (B2) la question b c'est fait aussi la question c je trouve pour a indice n 0.36 et pour b indice n 0.64. A la 2 je trouve pareil . Pour la 3.a je trouve P-0,25Q = matrice M et pour la 3.b je trouve PQ = ( 0 0 et pour QP la même chose.
0 0)
Pour la question c) jai fait l'initialisation j'ai dit que pour n = 1 P^n = P^1 = P donc c'est initialisé e. Je bloque à l hérédité en disant qu'il faut prouver que P^n+1 = P j'arrive pas à continuer et pour la question d je ne vois pas comment faire aussi qui pourrait m'aider svp ?
Bonjour,
c)
Hérédité :
Hypothèse de récurrence :
A démontrer :
idem pour
d)
Récurrence.
Initialisation facile.
Hérédité.
Hypothèse récurrence :
A démontrer :
Bonsoir,
J'ai le même exercice à faire mais je ne vois pas comment faire la question 2, pouvez-vous me venir en aide ?
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