Inscription / Connexion Nouveau Sujet
matrices
Bonjour voici l'exercice : Soit une marche aleatoire sur triangle SRT. A xhaque pas, la probabilité de rester sur un sommet est 0.5 mais il y a une meme probabilité de passer sur un autre sommet. on note sn,rn,tn la probabilité de se retrouver sur sommet S,R ou T au bout de n déplacements puis on note Xn = (sn , rn , tn ) (c'est une matrice ).
1. Démontrer qu'on a une relation de forme : Xn+1=MXn où M sera la matrice à préciser.
2)a) S = 4M-2I3, demontrer que S^2=S+2I3.
b) Montrer qu'on a donc 2 suites (un)n et (vn)n tel que pr tout n
0 nous avons M^n=unI3+vnS où un+1 = 0.5un+0.5vn et vn+1 sera à déterminer en fonction de un et vn. ( les n sont en indice).
c) wn = un+2vn. Montrer alors que (wn)n est constante. ( n toujours en indice ).
d) tn = un - vn. Montrer alors que (tn)n est géométrique.
e) déduire de tout cela une écriture explicite de (tn)n , (un)n et (vn)n ( ce sont des suites ).
f) Donner alors la matrice M^n. Conclusion pour la suite (Xn)n ?
Pour la question 1) je trouve M ( 1/6 1/12 1/12
1/12 1/6 1/12
1/6 1/12 1/12)
Je ne sais pas si je me suis tromper mais je dois avouer que j'ai eu beaucoup de mal à traduire l'énoncé quelque un pourrait m'aider svp et me faire par exemple l'arbre à trouver ?? Merci d'avance.
Bonsoir,
Pour t'aider à la question 1), essaie de tracer un graphe probabiliste pour éclairer la situation. Si tu veux poste la photo quand tu as terminé. Ce graphe t'aidera à mieux discerner comment créer la matrice M.
Merci de votre réponse rapide 
, je n'arrive pas à faire un arbre pour schématiser enfaite et je ne sais pas si ma matrice M est juste .
Hé bien si tu veux tu peux prendre le modèle des graphes probabilistes dans ton cours. Sinon l'arbre mais c'est un peu plus compliqué... Mais regarde bien l'énoncé, on te dit : "A chaque pas, la probabilité de rester sur un sommet est 0.5 mais il y a une même probabilité de passer sur un autre sommet."
Un graphe probabiliste est un petit schéma qui résume la situation. Ici un dessin d'un triangle avec des flèches représentant les différents sens de déplacement entre les sommets. Ces flèches sont nommées par la probabilité d'aller d'un sommet à un autre.
N'as-tu pas ça dans ton cours ?
J'ai vu que c'était un dm. Bon c'est pas normal que vous ne l'ayez pas vu parce que ça aide quand même.
Dans ce cas là, qu'as tu fais pour trouver M et ses résultats ?
J'ai mis A,B,C sur un arbre avec 1/3 de proba pour chaque ensuite 0.5 pour a quand ca vient de a et 0.5 pour b quand ca vient de b apres pareil pour c et jai mis 1/4 pou tous les autres
Parce que au debut pour S 1/3 pour R 1/3 pour T 1/3 ensuite lautre brance pour S yaura S R et T et pour S ca sera 0.5 je pense et vu que la probabilité doit etre egal à 1 les autres ca fera 1/4 pour R et 1/4 pour T pour la branche S non ?
Bonjour moi j'ai multiplier par 1/3 tout donc pour ça que ma matrice M donnait 1/6 1/12... j'ai dit que x0 c'était 1/3 1/3 et 1/3 mais je pense que c'est faux je sais pas.
Ahh ! Vu comme ça oui, moi j'avais la matrice identité en tête, autant pour moi.
Bon bah pour l'instant ça me semble correct, ton raisonnement est bon.
Maintenant as-tu compris pour la 2)a) ?
ru ecris a partir de la matrice M que j'e t'ai donnee, la marice Selle est forùmere de 1 partout et de 0 sur la diagonale
tu calcules S² et tu calcule
rtu verras que c'est pareil
2)b) c'est une recurrence
euh !!
tu es sure de
Xn+1=MXn
ou alors ta matrice X_n est une colonne et non une ligne
ta matrice devrait avoir ts ses coeff d'une mme ligne de somme 1 ( toutes les proba en partant d'un sommet ) ce sont des proba conditionnelles partant d'un sommet donné
ah ok ca va mieux et je confirme M est bien formee de 0.5 sur la diagonale et 0.25 ailleurs .
cependant j'ai un doute sur :
meme probabilité de passer sur un autre sommet
S = 4M-2I3 ; S^2 = (4M-2I3)(4M-2I3)
S^2 = 16M^2 -4M×2I3-2I3×4M+4I3 c'est ca ou pas ? Je sais pas si il faut faire comme ca
cela sera utile ..apresde savoir que
là ecris ta matrice S ( des 1 et des 0 si tu reflechis bien ) et tu fais à la calculatrice ettu fais
et surprise n c'est pareil
cela sera utile ..apresde savoir que
là ecris ta matrice S ( des 1 et des 0 si tu reflechis bien ) et tu fais à la calculatrice ettu fais
et surprise n c'est pareil
La question c) j'ai reussi et la d) aussi je trouve une raison de 0.25 c'est bon ? Par contre la e) je ny arrive pas
et donc et donc tu fais
....
est une matrice formée que de 1
et tu trouveras ... mais c'est difficile
l'expression de
pour conclure qu'elle tendent ttes trois vers 1/3
Annuler
connectez vous