Bonjour,
j'imagine que t est un paramètre réel (ou complexe).
Si t est nul c'est trivial.

Sinon, il est clair que E(t) est un polynôme en A et donc commute avec A, auquel cas
(E(t)-1)^3=(tA+t^2A^2/2)^3
puisque A est nilpotente d'indice 3 et il est clair que la partie de droite est nulle (entre autre par commutativité mais on peut s'en affranchir si on a le temps de faire les calculs + A nilpotente d'ordre 3)

Dans ce cas (E(t)-1)^3=0 ce qui donne un polynôme annulateur de E(t).
A partir de là c'est facile.