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matrices
Bonjour voici l'exercice :
A = 1/9 ( 1 -8 -4
-8 1 -4
-4 -4 7)
B = ( 1 -2 4
-2 4 -8
4 -8 16)
Pour chacune des matrices suivantes, répondre aux questions suivantes :
a) La matrice est-elle orthogonale ? L'application associée est-elle bijective? une isométrie?
b) La matrice est-elle diagonalisable sur 
? Si oui quelles sont ses valeurs propres (avec multiplicité). Sinon, pourquoi pas ?
c) Déterminer la nature de l'application. Si l'application n'est pas bijective préciser son noyau et son image. Pour une symétrie orthogonale on donnera une équation cartésienne du plan. Pour une rotation (respectivement une anti-rotation) on donnera un vecteur w qui dirige l'axe D ainsi que les valeurs et cos téta et sin téta où téta est l'angle de la rotation sur P = D
a) A est orthogonale donc inversible donc bijective et isométrie car matrice diagonale. et B n'est pas orthogonale donc pas inversible donc pas bijective donc pas isométrie. C'est bien justifié ou il faut préciser des choses svp ?
b) Les deux diagonalisables car symétriques sur . Alors pour les valeurs propres il me semble qu'il y a une méthode avec la trace non ? Pour la trace de A c'est 9 aprè je sais pas quoi faire. B est de rang 1 donc 1 seule valeur propre possible qui est la trace non ? Donc B équivaut à
(21 0 0
0 0 0
0 0 0).
c) je ne sais pas trop je pense que pour A on va avoir une rotation et que pour B on envoie tout sur un meme axe ??
Merci à vous
salut
B n'est pas orthogonale donc pas inversible donc pas bijective donc pas isométrie
rien compris ...
il est évident que les colonnes de B sont u, -2u et 4u où u est le vecteur colonne de la première colonne ...
il est donc tout aussi évident que b n'est pas bijective ...
si (i, j, k) est "la base canonique" et en posant u = (1, -2, 4) alors
Bi = u
Bj = -2u
Bk = 4u
donc Im B = vec (u) et évidemment u est vecteur propre
or Bu = B(i - 2j + 4k) = 21u
et le noyau est engendré par exemple par 2i + j et 4i - k
B est donc la projection sur la droite vec (u) parallèlement au plan vect (2i + j, 4i - k)
la trace de A n'est pas 9 : ne pas oublier le coefficient 1/9 devant ...
A est symétrique donc diagonalisable dans une b.o.n.
il faut donc déterminer ses valeurs propres ...
comme on déterminer les valeurs propres de n'importe quelle matrice : avec son polynome caractéristique ...
je tombe sur ( 1/9-X -8/9 -4/9
-8/9 1/9-X -4/9
-4/9 -4/9 7/9-X).
après ca donne ( 1/9-X -8/9 -4/9
-1+X 1-X 0
-4/9 -4/9 7/9-X). (j'ai fait L2 
L2-L1.
alors ca nous donne (X²-81)(9-X) donc on se retrouve avec X = 1 ou -1 ( en divisant par 1/9) mais pour l'ordre de multiplicité on fait comment svp
Bonjour,
alors ca nous donne (X²-81)(9-X) donc on se retrouve avec X = 1 ou -1 ( en divisant par 1/9) mais pour l'ordre de multiplicité on fait comment svp
(X²-81) (9-X) = (X+9) (X-9) (9-X) = - (X+9) ( X-9)², donc X =1 est de multiplicité 2 et X = -1 de multiplicité 1.
Pour la question c), le plan d'étude est:
1. Montrer que la matrice est orthogonale de la matrice (déjà fait)
2. Calculer le déterminant de la matrice (isométrie ?)
3. Calculer la trace de la matrice
4. Si la matrice représente une rotation, calculer l'angle de rotation
5. Si la matrice représente une rotation, déterminer l'axe de rotation
en calculant Ker(A-I3).
d'accord merci je ne sais pas comment on fait pour connaitre l'isometrie : dans quel cas on a une rotation et dans quel cas on a une reflexion svp?
Trace 1 car dans le plan de symétrie, la restriction est l'identité (vp double 1) et sur la direction orthogonale la vp simple est -1.
Tu as le plan de symétrie avec Ker (A-I3) et l'axe orthogonal avec Ker (A+I3).
bonjour pour la matrice A je trouve la trace = 1, le déterminant est -1 et on a une réflexion dans un plan e1 perpendiculaire composée avec une rotation d'angle pi autour de l'axe e1 et pour la matrice B je pense que l'image de B est sous espace engendré par le vecteur ( 1 -2 4) c'est complet ou pas svp (il faut surement calculer (ker A - Id) ?
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