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matrices

Posté par
morgane55
16-04-17 à 13:07

Bonjour voici l'exercice :
A = 1/9 ( 1 -8 -4
                    -8 1 -4
                    -4 -4 7)

B = ( 1 -2 4
          -2 4 -8
          4 -8 16)
Pour chacune des matrices suivantes, répondre aux questions suivantes :
a) La matrice est-elle orthogonale ? L'application associée est-elle bijective? une isométrie?
b) La matrice est-elle diagonalisable sur ? Si oui quelles sont ses valeurs propres (avec multiplicité). Sinon, pourquoi pas ?
c) Déterminer la nature de l'application. Si l'application n'est pas bijective préciser son noyau et son image. Pour une symétrie orthogonale on donnera une équation cartésienne du plan. Pour une rotation (respectivement une anti-rotation) on donnera un vecteur w qui dirige l'axe D ainsi que les valeurs et cos téta et sin téta où téta est l'angle de la rotation sur P = D

a) A est orthogonale donc inversible donc bijective et isométrie car matrice diagonale. et B n'est pas orthogonale donc pas inversible donc pas bijective donc pas isométrie. C'est bien justifié ou il faut préciser des choses svp ?

b) Les deux diagonalisables car symétriques sur . Alors pour les valeurs propres il me semble qu'il y a une méthode avec la trace non ? Pour la trace de A c'est 9  aprè je sais pas quoi faire. B est de rang 1 donc 1 seule valeur propre possible qui est la trace non ? Donc B équivaut à
(21 0 0
  0    0 0
  0    0 0).

c) je ne sais pas trop je pense que pour A on  va avoir une rotation et que pour B on envoie tout sur un meme axe ??
Merci à vous

Posté par
morgane55
re : matrices 16-04-17 à 13:08

a) A isométrie car matrice orthogonale pardon

Posté par
carpediem
re : matrices 16-04-17 à 14:02

salut

Citation :
B n'est pas orthogonale donc pas inversible donc pas bijective donc pas isométrie
je ne vois qu'une affirmation non justifiée ...

Posté par
morgane55
re : matrices 16-04-17 à 14:26

Pas orthogonale car quand on multiplie la première colonne avec la deuxièmes on a pas 0

Posté par
carpediem
re : matrices 16-04-17 à 14:28

tu sais multiplier des colonnes ??

Posté par
morgane55
re : matrices 16-04-17 à 15:02

-2-8-32 différent de 0 (terme à terme)

Posté par
carpediem
re : matrices 16-04-17 à 18:22

rien compris ...

il est évident que les colonnes de B sont u, -2u et 4u où u est le vecteur colonne de la première colonne ...

il est donc tout aussi évident que b n'est pas bijective ...

Posté par
morgane55
re : matrices 17-04-17 à 18:39

d'accord merci et pour la b) et c) svp

Posté par
carpediem
re : matrices 17-04-17 à 20:02

tu sors un cours ...

Posté par
morgane55
re : matrices 19-04-17 à 18:48

Comment ?

Posté par
carpediem
re : matrices 19-04-17 à 19:13

si (i, j, k) est "la base canonique" et en posant u = (1, -2, 4) alors

Bi = u
Bj = -2u
Bk = 4u

donc Im B = vec (u) et évidemment u est vecteur propre

or Bu = B(i - 2j + 4k) = 21u

et le noyau est engendré par exemple par 2i + j et 4i - k

B est donc la projection sur la droite vec (u) parallèlement au plan vect (2i + j, 4i - k)



la trace de A n'est pas 9 : ne pas oublier le coefficient 1/9 devant ...

A est symétrique donc diagonalisable dans une b.o.n.

il faut donc déterminer ses valeurs propres ...

Posté par
carpediem
re : matrices 19-04-17 à 19:15

pardon : B n'est pas une projection (puisque Bu = 21u)

Posté par
morgane55
re : matrices 20-04-17 à 17:03

d'accord merci les valeurs propres de A sont 1 et -1 ?

Posté par
carpediem
re : matrices 20-04-17 à 18:47

je ne sais pas ...

Posté par
morgane55
re : matrices 21-04-17 à 09:38

d'accord ma question est comment on détermine les valeurs propres d'une matrice symétrique svp ?

Posté par
carpediem
re : matrices 21-04-17 à 11:03

comme on déterminer les valeurs propres de n'importe quelle matrice : avec son polynome caractéristique ...

Posté par
morgane55
re : matrices 21-04-17 à 11:18

d'accord je le fais et je vous le dit

Posté par
morgane55
re : matrices 21-04-17 à 11:35

je n'y arrive pas les calculs sont trop long je pense qu'il y a une autre méthode non?

Posté par
carpediem
re : matrices 21-04-17 à 12:23

Posté par
morgane55
re : matrices 21-04-17 à 13:21

je tombe sur ( 1/9-X   -8/9      -4/9
                                -8/9    1/9-X     -4/9
                                 -4/9        -4/9    7/9-X).

après ca donne ( 1/9-X   -8/9      -4/9
                                     -1+X        1-X       0
                                     -4/9     -4/9        7/9-X). (j'ai fait L2 L2-L1.

Posté par
carpediem
re : matrices 21-04-17 à 14:48

mais pourquoi t'emmerder avec ce 1/9 qui ne sert strictement à rien ...

Posté par
morgane55
re : matrices 21-04-17 à 15:21

merci alors je trouve -X^3 + 9X² + 81X -729

Posté par
carpediem
re : matrices 21-04-17 à 15:37

ben il y a une racine évidente ...

Posté par
morgane55
re : matrices 21-04-17 à 15:48

alors ca nous donne (X²-81)(9-X) donc on se retrouve avec X = 1 ou -1 ( en divisant par 1/9) mais pour l'ordre de multiplicité on fait comment svp

Posté par
scoatarin
re : matrices 21-04-17 à 21:08

Bonjour,

morgane55 @ 21-04-2017 à 15:48

alors ca nous donne (X²-81)(9-X) donc on se retrouve avec X = 1 ou -1 ( en divisant par 1/9) mais pour l'ordre de multiplicité on fait comment svp


(X²-81) (9-X) =  (X+9) (X-9) (9-X) = - (X+9) ( X-9)², donc X =1 est de multiplicité 2 et X = -1 de multiplicité 1.  

Posté par
morgane55
re : matrices 22-04-17 à 07:51

D'accord merci et pour la question c) svp comment on commencer

Posté par
scoatarin
re : matrices 22-04-17 à 09:09

Pour la question c), le plan d'étude est:

1. Montrer que la matrice est orthogonale de la matrice (déjà fait)
2. Calculer le déterminant de la matrice (isométrie ?)
3. Calculer la trace de la matrice
4. Si la matrice représente une rotation, calculer l'angle de rotation
5. Si la matrice représente une rotation, déterminer l'axe de rotation
      en calculant Ker(A-I3).

  

Posté par
morgane55
re : matrices 22-04-17 à 18:19

d'accord merci je ne sais pas comment on fait pour connaitre l'isometrie : dans quel cas on  a une rotation et dans quel cas on a une reflexion svp?

Posté par
jeanseb
re : matrices 22-04-17 à 18:53

Bonjour

Rotation: déterminant = 1

Réflexion: déterminant = -1

Posté par
morgane55
re : matrices 22-04-17 à 20:07

le determinant je trouve -81

Posté par
jeanseb
re : matrices 22-04-17 à 21:01

Divisé par 81 surement! determinant= -81, ce n'est pas une isométrie!

Posté par
morgane55
re : matrices 23-04-17 à 10:45

daccord donc determinant -1 alors on a une réflexion et la trace de la matrice est 1

Posté par
jeanseb
re : matrices 23-04-17 à 11:17

Trace 1 car dans le plan de symétrie, la restriction est l'identité (vp double 1) et sur la direction orthogonale la vp simple est -1.

Tu as le plan de symétrie avec Ker (A-I3) et l'axe orthogonal avec Ker (A+I3).

Posté par
morgane55
re : matrices 23-04-17 à 11:23

d'accord merci mais en classe j'ai pas eu de cours sur ca vous avez un lien de cours svp ?

Posté par
jeanseb
re : matrices 23-04-17 à 11:46

Il suffit de chercher sur google! (p ex "isométries de R3")

Par exemple:

Posté par
morgane55
re : matrices 23-04-17 à 11:53

merci à vous

Posté par
jeanseb
re : matrices 23-04-17 à 12:33

Posté par
morgane55
re : matrices 26-04-17 à 10:37

bonjour pour la matrice A je trouve la trace = 1, le déterminant est -1 et on a une réflexion dans un plan e1 perpendiculaire composée avec une rotation d'angle pi autour de l'axe e1 et pour la matrice B je pense que l'image de B est sous espace engendré par le vecteur ( 1 -2 4) c'est complet ou pas svp (il faut surement calculer (ker A - Id) ?

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