Bonsoir à tous,
J'ai quelques difficultés à résoudre un exercice de maths :
Soit n un entier naturel non nul. On pose w(n) = exp (2iπ/n).
a) Rappeler l'ensemble des solutions complexes de l'équation z^n = 1 en fonction de w(n).
On pose z = e^iθ. Alors on a e^inθ = e^0
Alors on a nθ = 0 + 2kπ, d'où θ = 2kπ/n, k∈ℤ.
Donc S = {w(n)^k, k∈ℤ}
b) Soit p un entier relatif. En discutant sur w(n)^p, donner la valeur de S(n)(p) = .
On a w(n)^(pk) = (w(n)^p)^k. Donc ou bien w(n)^p ≠ 1 et S(n)(p) = , ou bien w(n)^p = 1 et S(n)(p) = n
c) Soient p et q deux entiers relatifs. Calculer T(n)(p,q) = et V(n)(p,q) = .
Là je ne suis arrivé à rien.
Soit A(n) = (a(i,j)) 1≤i,j≤n la matrice définie par a(i,j) = pour tous 1≤i,j≤n.
d) Dans cette question et la suivante, on suppose n = 3. Calculer 1+ w(3) + w(3)^2.
On trouve que c'est nul.
e) Montrer que A(3) est inversible.
Là, je résout un système avec le pivot :
L1 : x + y + z = 0
L2 : x + w(3)y + (w(3)^2)z = 0
L3 : x + (w(3)^2)y + (w(3)^4)z = 0
Je trouve L3 : z * (w(3)^2 -1) * (w(3) -1) * ( w(3)^2 - w(3)) = 0
Et comme w(3) ≠ 1 et ≠0, on a (x,y,z) = (0,0,0) et donc A est inversible
f) Soit ^n la matrice de coefficients ( i,j) 1≤i,j≤n. Calculer A(n)^n.
Là je commence le produit pour n=3 et je trouve (excusez ma matrice très moche )
(1, 1+w(n) + w(n)^2, 1+w(n)^2 + w(n)^4 )
__ __ __ __ __ __
(1+w(n) + w(n)^2, 1+w(n)w(n) +w(n)^2 w(n)^2 , 1+w(n)w(n)^2 + w(n)^2w(n)^4 )
__ __ __ __ __ __
(1+w(n)^2 + w(n)^4, 1+w(n)w(n)^2 + w(n)^2w(n)^4 , 1+w(n)^2w(n)^2 + w(n)^4
*w(n)^4 )
g) En déduire que A(n) est inversible et déterminer son inverse.
Le problème, c'est que je trouve que le coefficient (2,2) de ma matrice n = 3 de la question
__ __
précédente = 1+w(n)w(n) +w(n)^2 w(n)^2 = 1+ |w(n)|^2 + |w(n)|^4 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠1.
Donc, le produit calculé à la question à la question précédente ne fait pas I(3) et ma
__
matrice A(3) n'est donc pas inversible d'inverse A(3), comme semble l'indiquer la question. Où se situe donc mon erreur ?
Pour résumer : j'ai besoin d'aide à la question c), f), et g). Merci d'avance et bonne nuit !
Bonjour !
Revois ton calcul de : la formule que tu utilises pour la somme des termes d'une suite géométrique suppose que la sommation commence à 0.
La notation de ton énoncé ne fait que compliquer : étant fixé dans chaque calcul, je note tout court...
Revois ton énoncé : il y a beaucoup de chances pour que ou (c'est la même somme puisque ).
Et de même pour les autres sommes.
En corrigeant je te laisse le soin de calculer : ce qui te ramène à l'utilisation du résultat correct pour
D'ailleurs, la question d) pour te demande la somme de termes.
Il ne faut pas te laisser avoir par " entier relatif" : ce qui compte c'est le reste de modulo car . Finalement, toutes tes sommes se calculent pour .
.........................................
Plus facilement pour e : donc
en ajoutant les colonnes 2 et 3 à la première et en utilisant ta relation .
.............................................
Pour les questions suivantes :
Un conseil : éviter l'utilisation des lettres comme indices quand tu travailles avec des complexes.
Le complexe est de module 1 donc de sorte que le calcul du coefficient de ligne colonne du produit est la somme : c'est une des sommes que tu as dû calculer en d (ce qui confirme mon idée que la sommation était de termes, pas comme tu l'as écrit)
Merci beaucoup pour vos réponses !
b) Effectivement, on trouve S(n)(p)= pour w^p ≠ 1 et n-1 si w^p = 1.
c) Là , on trouve T(n)(p,q) = si w^(p+q) ≠ 1 et T(n)(p,q) = (n-1) si w^(p+q) = 1. De même pour V(n)(p,q) = si w^(p-q) ≠ 1 et V(n)(p,q) = (n-1) si w^(p-q) = 1.
Effectivement, les sommes vont de k = 0 à k= n-1.
Pour la question e), je n'ai pas encore vu le déterminant, donc j'ai rien compris.
Je regarde les questions suivantes et j'envoie un message dès que j'aurai un début de réponse
Du coup désolé, si les sommes vont de 0à n-1, il faut remplacer tous les (n-1) par n dans mes réponses b) et c)
Donc, si je ne me trompe, on a = = ce que j'ai répondu à la question c) pour V(n)(p,q).
Pourriez -vous me donner une indication pour la dernière question ?
Bref, c'est un exercice qui dépend complètement d'une réponse correcte donnée à la question b : pas très aimable l'auteur du sujet !
Pour la question b) : On a si w^p différent de 1 : . Or w^n = 1. Donc, on a la somme si w^p si différent de 1 égale à 0.
Pour la question c) : On s'aide de b) et on trouve les mêmes résultats que b) pour T et V
Pour la question f) : Du coup : le coefficient (i,j) de la matrice A * conj(A) est V. Et donc, cela vaut n si i-j = 0 et 0 sinon.
Donc A* conj(A) = nI(n)
g) Donc A est inversible d'inverse 1/n * conj (A)
Merci beaucoup pour votre aide !
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