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Matrices

Posté par
flynice
15-11-17 à 00:00

Bonsoir à tous,
J'ai quelques difficultés à résoudre un exercice de maths :
Soit n un entier naturel non nul. On pose w(n) = exp (2iπ/n).

a) Rappeler l'ensemble des solutions complexes de l'équation z^n = 1 en fonction de w(n).

On pose z = e^iθ. Alors on a e^inθ = e^0
Alors on a nθ = 0 + 2kπ, d'où θ = 2kπ/n,   k∈ℤ.

Donc S = {w(n)^k,    k∈ℤ}

b) Soit p un entier relatif. En discutant sur w(n)^p, donner la valeur de S(n)(p) = \sum_{k=1}^{n-1} w(n)^{kp} .

On a w(n)^(pk) = (w(n)^p)^k. Donc ou bien w(n)^p ≠ 1 et S(n)(p) = \frac{w(n)^{p(n+1)} - 1 }{w(n) - 1} , ou bien w(n)^p = 1 et S(n)(p) = n

c) Soient p et q deux entiers relatifs. Calculer T(n)(p,q) = \sum_{k=1}^{n-1} w(n)^){kp}w(n)^{kq} et V(n)(p,q) = \sum_{k=1}^{n-1} w(n)^{kp}w(n)^{-kq} .

Là je ne suis arrivé à rien.

Soit A(n) = (a(i,j)) 1≤i,j≤n   la matrice définie par a(i,j) = w(n)^{(i-1)(j-1) pour tous 1≤i,j≤n.

d) Dans cette question et la suivante, on suppose n = 3. Calculer 1+ w(3) + w(3)^2.

On trouve que c'est nul.

e) Montrer que A(3) est inversible.

Là, je résout un système avec le pivot :

L1 : x + y + z = 0
L2 : x + w(3)y + (w(3)^2)z = 0
L3 : x +  (w(3)^2)y +  (w(3)^4)z = 0

Je trouve L3 :      z  *  (w(3)^2  -1) *  (w(3)   -1) * ( w(3)^2 - w(3)) = 0
Et comme w(3) ≠ 1 et ≠0, on a (x,y,z) = (0,0,0) et donc A est inversible

f) Soit \overline{A} ^n la matrice de coefficients (\overline{a} i,j) 1≤i,j≤n. Calculer A(n)\overline{A} ^n.

Là je commence le produit pour n=3 et je trouve (excusez ma matrice très moche )

(1, 1+w(n) + w(n)^2,  1+w(n)^2  + w(n)^4                  )
       __           __                               __                           __                            __                            __
(1+w(n) + w(n)^2,  1+w(n)w(n) +w(n)^2 w(n)^2    ,     1+w(n)w(n)^2  + w(n)^2w(n)^4   )
        __                 __                               __                                 __                       __                                  __
(1+w(n)^2  + w(n)^4,  1+w(n)w(n)^2  + w(n)^2w(n)^4 ,  1+w(n)^2w(n)^2 +   w(n)^4
                                                                                                                                                    *w(n)^4 )    

                                                                                                                                      
g) En déduire que A(n) est inversible et déterminer son inverse.

Le problème, c'est que je trouve que le coefficient (2,2) de ma matrice n = 3 de la question
                                             __                            __
précédente = 1+w(n)w(n) +w(n)^2 w(n)^2 = 1+ |w(n)|^2 + |w(n)|^4 = 1 + 1 + 1 = 3 ≠1.

Donc, le produit calculé à la question à la question précédente ne fait pas I(3) et ma
                                                                                                          __
matrice A(3) n'est donc pas inversible d'inverse A(3), comme semble l'indiquer la question. Où se situe donc mon erreur ?

Pour résumer : j'ai besoin d'aide à la question c), f), et g).  Merci d'avance et bonne nuit !

Posté par
flynice
re : Matrices 15-11-17 à 00:02

ERRATUM : Pour la question c, le premier facteur du produit de la somme est w(n)^(kp)

Posté par
jb2017
re : Matrices 15-11-17 à 11:17

Bonjour
Il faudrait revoir la question b) Ou bien on trouve S(n,p)=n-1  ou bien  S(n,p)=-1.

Posté par
luzak
re : Matrices 15-11-17 à 13:22

Bonjour !
Revois ton calcul de S_{n,p} : la formule que tu utilises pour la somme des termes d'une suite géométrique suppose que la sommation commence à 0.

La notation \omega_n de ton énoncé ne fait que compliquer : n étant fixé dans chaque calcul, je note \omega tout court...

Revois ton énoncé : il y a beaucoup de chances pour que S_{n,p}=\sum_{0\leqslant k<n}\omega^{kp} ou S_{n,p}=\sum_{1\leqslant k\leqslant n}\omega^{kp} (c'est la même somme puisque \omega^{kn}=\omega^0=1).
Et de même pour les autres sommes.

En corrigeant S_{n,p} je te laisse le soin de calculer V_{n,p},\;T_{n,p} : \omega^{u}\omega^{v}=\omega{u+v} ce qui te ramène à l'utilisation du résultat correct pour S_{n,p}

D'ailleurs, la question d) pour n=3 te demande la somme de n(=3) termes.

Il ne faut pas te laisser avoir par "p entier relatif" : ce qui compte c'est le reste de p modulo n car \omega_{bn+r}=\omega_r. Finalement, toutes tes sommes se calculent pour 0\leqslant p<n,\;0\leqslant q<n.
.........................................
Plus facilement pour e : A(3)=\begin{pmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &\omega &\omega^2 \\1 &\omega^2 &\omega\end{pmatrix} donc

\det(A(3))=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ 1 &\omega &\omega^2 \\1 &\omega^2 &\omega\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 &1 &1 \\ 0 &\omega &\omega^2 \\0 &\omega^2 &\omega\end{vmatrix} en ajoutant les colonnes 2 et 3 à la première et en utilisant ta relation 1+\omega+\omega^2=0.

.............................................
Pour les questions suivantes :
Un conseil : éviter l'utilisation des lettres i,j comme indices quand tu travailles avec des complexes.
Le complexe \omega  est de module 1 donc \bar{\omega}=\dfrac1{\omega} de sorte que le calcul du coefficient de ligne p colonne q du produit A\bar A est la somme \sum_{1\leqslant k\leqslant n}\omega^{(p-1)(k-1)-(k-1)(q-1)} : c'est une des sommes que tu as dû calculer en d (ce qui confirme mon idée que la sommation était de n termes, pas n-1 comme tu l'as écrit)

Posté par
flynice
re : Matrices 15-11-17 à 21:08

Merci beaucoup pour vos réponses !

b) Effectivement, on trouve S(n)(p)= \frac{1-w^{p(n-1)}}{1-w^p} pour w^p ≠ 1 et  n-1 si w^p = 1.

c) Là , on trouve T(n)(p,q) = \frac{1-w^{(p+q)(n-1)}}{1-w^{p+q}} si w^(p+q) ≠ 1 et T(n)(p,q) = (n-1) si w^(p+q) = 1. De même pour V(n)(p,q) = \frac{1-w^{(p-q)(n-1)}}{1-w^{p-q}} si w^(p-q) ≠ 1 et V(n)(p,q) = (n-1) si w^(p-q) = 1.

Effectivement, les sommes vont de k = 0 à k= n-1.

Pour la question e), je n'ai pas encore vu le déterminant, donc j'ai rien compris.
Je regarde les questions suivantes et j'envoie un message dès que j'aurai un début de réponse

Posté par
flynice
re : Matrices 15-11-17 à 21:15

Du coup désolé, si les sommes vont de 0à n-1, il faut remplacer tous les (n-1) par n dans mes réponses b) et c)

Posté par
flynice
re : Matrices 15-11-17 à 21:44

                                                                        
Donc, si je ne me trompe, on a (An\overline{An} )_(p,q) =  \sum_{k=0}^{n-1}\{w^{k(p-q)}} = ce que j'ai répondu à la question c) pour V(n)(p,q).

Pourriez -vous me donner une indication pour la dernière question ?

Posté par
flynice
re : Matrices 15-11-17 à 23:16

Posté par
luzak
re : Matrices 15-11-17 à 23:30

Citation :
Du coup désolé, si les sommes vont de 0à n-1, il faut remplacer tous les (n-1) par n dans mes réponses b) et c)

et aussi refaire le calcul pour \omega^p\neq1...

Pour la dernière question je t'ai déjà dit que tu dois calculer le coefficient de ligne p colonne q du produit matriciel A\bar A en utilisant le résultat des sommes V_n(r,s). Mais il faut calculer ces sommes proprement en utilisant les restes modulo n des exposants de \omega ce que tu n'as pas fait jusque maintenant !


Bref : écris les sommes demandées en b,c : tu devrais trouver des choses simples, après tu auras de l'aide si nécessaire.

Posté par
luzak
re : Matrices 16-11-17 à 00:01

Citation :
matrice A(3) n'est donc pas inversible d'inverse \bar A(3), comme semble l'indiquer la question. Où se situe donc mon erreur ?

Il n'y a pas d'erreur, l'inverse de A(n) n'est pas \bar{A(n)} et la question ne "semble pas l'indiquer" : c'est toi qui l'as décidé !

Bon, je fais un effort, le produit A(3)\bar{A(3)} est 3I_3.
Ta réponse à f est illisible : il faut utiliser les sommes calculées au début !

Posté par
luzak
re : Matrices 16-11-17 à 09:51

Bref, c'est un exercice qui dépend complètement d'une réponse correcte donnée à la question b : pas très aimable l'auteur du sujet !

Posté par
flynice
re : Matrices 17-11-17 à 17:40

Pour la question b) : On a si w^p différent de 1  :  \frac{1-w^{np}}{1-w^p}. Or w^n = 1. Donc, on a la somme si  w^p si différent de 1 égale à  0.

Pour la question c) : On s'aide de b) et on trouve les mêmes résultats que b) pour T et V

Pour la question f) : Du coup : le coefficient (i,j) de la matrice A * conj(A) est V. Et donc, cela vaut n si i-j = 0 et 0 sinon.
Donc A* conj(A) = nI(n)
g) Donc A est inversible d'inverse 1/n * conj (A)

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
luzak
re : Matrices 17-11-17 à 22:05

C'est ça !
Mais on ne trouve pas "le même résultat" pour T,V : l'une des sommes dépend de p+q, l'autre de p-q.



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