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Matrices

Posté par
Acialas
25-12-17 à 00:06

Bonsoir,

J'ai fait un exercice afin de m'entraîner et j'aimerais avoir une vérification si possible.

Voici l'énoncé :

1) On considère une matrice A = \begin{pmatrix} 1 & 2 &1 \\ 2& 0 &2 \\ 1& 2 &1 \end{pmatrix}. On note B, la base canonique de R^3.

a) On définit 1 = (1,-2,1), vérifier que celui-ci est un vecteur propre de A.
Quelle valeur propre met-il en évidence ?


J'ai fait une méthode un peu "bourrin" en calculant les 3 vecteurs propres, mais je ne sais pas si on peut faire autrement (je pense que oui puisque l'énoncé dit de vérifier).
J'ai donc trouvé 1 = (1,-2,1) associé à la valeur propre -2.
Puis  2 = (1,0,-1) associé à la valeur propre 4.
Et  2 = (1,1,1) associé à la valeur propre 0.

b) Sans calcul, que peut-on dire de la valeur du déterminant de A et pourquoi ?
A est-elle inversible?  
L'endomorphisme de f de R3 canoniquement associé à A, est-il bijectif ?
On demande également de calculer le vecteur (a,b,c) élément du noyau de f, de première coordonnée 1 par rapport à B, base canonique, on le note 2.


J'ai mis que le déterminant de A est nul car une de ses valeurs propres est nulle, mais là encore je ne sais pas si c'est ce qui est attendu... Donc A n'est pas inversible (car son déterminant est nul).
Pour la question sur l'endomorphisme, je n'ai pas compris.
Pour le calcul de 2 je l'ai fait du coup.

c) Trouver 3 vecteur propre associé à la valeur propre correspondant à la somme des coefficients de chaque ligne de A.

Déjà fait.

d) On note B' la base associé à i (pour i = 1,2,3). Montrer que c'est une base de 3. A est-elle diagonalisable ?
Ecrire la matrice de passage de B à B'.

Pour montrer que B' est une base de 3, j'ai d'abord écrit la matrice de passage de B à B' : P = \begin{pmatrix} 1& 1 &1 \\ -2&0 &1 \\ 1&-1 &1 \end{pmatrix} et j'ai calculé son déterminant, puisqu'il est non nul, cette matrice est inversible et donc c'est une base. (je pense qu'ici la méthode attendue était de montrer que les vecteurs forment une famille libre et génératrice vu la question... Est-ce quand même correct ? ).

2) Résoudre le système différentiel :

\begin{cases} x'(t) = x(t)+2y(t)+z(t)+2t+3 \\ y'(t) = 2x(t)+2z(t)+6 \\ z'(t) =x(t)+2y(t)+z(t)-2t+3 \end{cases}

avec (x(0),y(0),z(0)) = (1,1,1)

J'ai trouvé les solutions suivantes  :
(5/6 * e^{-2t}+1/6)\epsilon _1 + (9/8e^{4t}-1/8(4t+1))\epsilon _2 + (4t)\epsilon _3

Merci d'avance pour l'aide apportée !

Posté par
Sylvieg
re : Matrices 25-12-17 à 08:15

Bonjour,
Pour  1)a) , il suffit de calculer le produit de la matrice  A  par la matrice colonne des coordonnées de  1 .

Pour  1)b) , remarquer que la matrice comporte deux colonnes identiques.

Posté par
Acialas
re : Matrices 25-12-17 à 12:50

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Je ne comprends pas ce que je peux en déduire pour la 1) a), si je fais ceci j'obtiens (-2,4,-2).

Pour la b), j'ai compris pour cette partie de la question du coup merci.
Mais comment répondre à

Citation :
L'endomorphisme de f de R3 canoniquement associé à A, est-il bijectif ?
?

Le reste vous paraît-t-il correct ?

Posté par
ThierryPoma
re : Matrices 25-12-17 à 13:09

Bonjour,

Tu trouves ceci ?

A\,\epsilon_1=\left(\begin{array}{r}-2\\4\\-2\\\end{array}\right)=-2\,\epsilon_1

Tu ne sais pas conclure ?

Posté par
Acialas
re : Matrices 25-12-17 à 13:35

En l'écrivant comme ça si du coup mais je ne l'avais jamais vu avant, je ne comprends pas d'où ça vient.
En cours, nous avons uniquement comment trouver les vecteurs propres en calculant le polynôme caractéristique puis en trouvant les valeurs propres etc.
C'est ce que j'ai fait pour cet exercice... Mais cela me perturbe un peu car vu la tournure des questions, je crois que ce n'est pas ce qui est attendu.

Posté par
ThierryPoma
re : Matrices 25-12-17 à 13:38

Ah bon ? Pourtant, je lis clairement ceci

Citation :
a) On définit 1 = (1,-2,1), vérifier que celui-ci est un vecteur propre de A. Quelle valeur propre met-il en évidence ? [/b]

Posté par
Acialas
re : Matrices 25-12-17 à 13:47

Oui mais j'ai calculé les 3 vecteurs propres puis ai dit ensuite que 1 était bien un des vecteurs propres, ce qui est un peu long.
Alors que la méthode que vous et Sylvieg avez fait est plus rapide et je trouve colle plus à la question puisqu'on dit de "vérifier".

Pour faire une comparaison, imaginons un exercice avec une équation du second degrés :
4x2 + 19x - 5 = 0
Si on nous demande de vérifier que x = -5 est bien une solution à cette équation, on peut soit calculer toutes les solutions et en déduire que x = -5 est bien une solution ou bien remplacer x par -5 dans l'équation et constater que cela fonctionne.

Je ne sais pas si je suis très clair mais ce n'est pas grave sinon.

Posté par
ThierryPoma
re : Matrices 25-12-17 à 13:55

Tu es très clair... Sais-tu faire la différence entre "vérifier" (qui demande en général peu de travail) et "déterminer", voire "démontrer" ?

Posté par
Acialas
re : Matrices 25-12-17 à 14:05

Oui. Le problème c'est que je ne savais pas comment le faire pour cette question (c'est pour ça que j'ai déterminé).

Du coup lorsque l'on calcule A. i, cela nous donne toujours i.i  (dans un cas général) ?

Avec i la valeur propre associé à i.

Posté par
ThierryPoma
re : Matrices 25-12-17 à 14:12

Dans le cas où \epsilon_i est un vecteur propre de A, la réponse est affirmative. Tu peux essayer avec les autres vecteurs que tu as trouvés, juste par curiosité...

Posté par
Sylvieg
re : Matrices 25-12-17 à 14:41

Bonjour,
Je suis revenue, mais pas pour très longtemps  
@Acialas,
Pour les vecteurs propres, il y a dans le cours deux choses différentes :
La définition que tu as semble-t-il mise dans un placard puis fermé celui-ci à double tour !
Une propriété qui permet de les chercher.
Cherche la définition et ça devrait aller mieux.

Posté par
Acialas
re : Matrices 26-12-17 à 00:38

Je comprends mieux.

Les autres questions vous semblent-elles correctes ?

Posté par
Sylvieg
re : Matrices 26-12-17 à 07:46

Bonjour,
Pour 1)a), on se contente de vérifier ceci :   A1  =  -2 1

Pour 1)b), regarder les lignes de la matrice.

Pour trouver  2 , chercher  (1,b,c)  vérifiant    A\times \begin{pmatrix} 1\\b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{pmatrix}  .

Pour 1)c), chercher un  3  vérifiant    A3  =  4 3  .

Posté par
Acialas
re : Matrices 03-01-18 à 22:30

Ok, merci !

Je n'ai toujours pas compris la question liée à l'endomorphisme

Posté par
lafol Moderateur
re : Matrices 03-01-18 à 22:54

Bonjour
tu ferais bien de lire un cours, avant de chercher à faire les exercices ....
déjà, penser qu'un endomorphisme n'a que trois vecteurs propres ....
ensuite ne pas savoir le lien entre déterminant et inversibilité pour une matrice, ou alors ne pas savoir le lien entre inversibilité d'une matrice et bijectivité de l'endomorphisme associé ....

Posté par
Acialas
re : Matrices 04-01-18 à 00:17

Merci pour cette réponse lafol, j'ai finalement trouvé ma réponse en cherchant...
Je tiens à préciser que j'ai eu un professeur assez unique en son genre ce semestre (des heures de cours sautées, arrivait en retard, travaillait lentement, bref, tous les aspects du cours n'ont pas été traités mais j'essaie de faire de mon mieux pour rattraper ça) et que c'est pour ça que je peux paraître un peu perdu sur certaines questions basiques.

Je vais essayer de rectifier ce que j'ai dit par rapport à vos remarques :

Citation :
déjà, penser qu'un endomorphisme n'a que trois vecteurs propres ....

C'est parce que j'ai dit "les" dans mon premier message ?
Il y en a une infinité, j'aurais dû dire des je crois.

Citation :
ensuite ne pas savoir le lien entre déterminant et inversibilité pour une matrice

Si je le savais ! Mais c'est juste que vu qu'on disait "sans calcul" dans mon énoncé je ne savais pas comment le faire sans calculer le déterminant justement.

Citation :
ou alors ne pas savoir le lien entre inversibilité d'une matrice et bijectivité de l'endomorphisme associé ....

Bon ça j'ai compris maintenant, si la matrice est inversible alors l'endomorphisme associé est bijectif. (c'est avec le théorème du rang qu'on le voit je crois)

Posté par
Acialas
re : Matrices 06-01-18 à 00:32

Est-ce que tout ce que j'ai dit est correct ?

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