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Matrices

Posté par
mouloy
26-04-20 à 07:03

Bonjour à vous tous , je trouve souvent ce genre de question dans plusieurs exercies et j'ai essayé mais mes tentatives n'ont mené à rien , voici ma question:

Soit A=\begin{pmatrix} 0 &0 &3 \\ 1&0 &0 \\ 0&1 & 0 \end{pmatrix}
et I =\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1 &0 \\ 0&0 & 1 \end{pmatrix}
Calculer A2 A3  puis An


c'est par rapport à An où je bloque sachant que j'ai trouvé
A2 = \begin{pmatrix} 0 &0 & 0\\ 0 & 0&3 \\ 1&0 & 0 \end{pmatrix}
Et A3 = \begin{pmatrix} 0 &0 & 0\\ 0 & 3&0 \\ 0&0 & 3 \end{pmatrix}
Merci d'avance ; Bonne matinée

Posté par
larrech
re : Matrices 26-04-20 à 07:42

Bonjour,

Tu t'es trompé dans tes calculs, A^2 et par suite A^3 sont faux.

Posté par
mouloy
re : Matrices 26-04-20 à 15:26

j'ai refait mon calcul je trouve :
A2 = \begin{pmatrix} 0 & 3& 0\\ 0 &0 &3 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
et A3 =\begin{pmatrix} 0 & 0&9 \\ 3& 0& 0\\ 1& 0& 0 \end{pmatrix}

Posté par
mtschoon
re : Matrices 26-04-20 à 15:39

Bonjour,

Avec tes nouveaux calculs

A^2 est bon, mais A^3 est inexact.

Posté par
mouloy
re : Matrices 26-04-20 à 19:08

désolée pour les fautes betes que je viens de comettre
Je trouve A3 = 3I

Posté par
larrech
re : Matrices 26-04-20 à 19:12

Oui, c'est ça.

Il te reste à en déduire A^n.

Posté par
mouloy
re : Matrices 26-04-20 à 19:27

C'est là où je bloque en fait est ce que je dois l'ecrire sous forme de
aI+bJ tel que a et b sont deux elements de R2

Posté par
larrech
re : Matrices 26-04-20 à 21:01

Non, tu peux calculer les puissances suivantes, en utilisant ces résultats.
Cela devrait te donner une idée.

En fait, il faut raisonner suivant les valeurs de n modulo 3.

Posté par
mouloy
re : Matrices 26-04-20 à 21:07

Cela donne :
On pose si n = 3k
A3k = 3k I
Si n=3k+1
.....

Posté par
larrech
re : Matrices 26-04-20 à 21:12

Oui, continue.

Posté par
mouloy
re : Matrices 27-04-20 à 05:27

D'accord , je trouve
Si n=3k
An=(\sqrt[3]{3})n I
Si n=3k+1
An =( \sqrt[3]{3})n AI
Si n=3k+2
An =( \sqrt[3]{3})n A2 I
C'est juste?
Merci d'avance!

Posté par
larrech
re : Matrices 27-04-20 à 07:50

D'où sort ce \sqrt[3]{3} ?

Tu avais bien commencé :

mouloy @ 26-04-2020 à 21:07

Cela donne :
On pose si n = 3k
A3k = 3k I
Si n=3k+1
.....


(on a bien pour k=1,  A3=3I3)

puis si on multiplie par A, A3k+1=3kI3A=3kA (inutile de conserver I3A qui est égal à A)

puis si on multiplie encore par A,   A3k+2=...

Mais ce n'est pour l'instant  qu'une conjecture (on se dit que si le monde mathématique est bien fait ça doit être ça).

Il reste à le démontrer, et pour cela, faire une récurrence.

Posté par
mouloy
re : Matrices 03-05-20 à 04:52

d'accord je vous remercie!!



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