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Niveau Maths sup
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Matrices

Posté par
pfff
14-04-21 à 10:21

Bonjour, j'aimerais de l'aide pour cet exercice. Merci

ENONCE

Soit E un K espace vectoriel de dimension finie et \beta _E sa base canonique.
Soit f End (E) de matrice M_f dans la base canonique.
Soit \beta '_E une autre base de E et M'_f la matrice de f dans la base \beta '_E. On rappelle que  M_f et M'_f sont liés par la relation suivante M'_f = \rho ^-^1.M_f.\rho est la matrice de passage de la base \beta _E à la base \beta '_E.

1) Montrer que n * on a :
(M'_f )^n= \rho ^-^1.M_f^n.\rho

2) soit h : ² ²
                u = (x,y) h(u) = (x' , y') telle que
\begin{cases} & \text{ } x' = x-y \\ & \text{ } y' = -3x + 3y \end{cases}

a) Montrer que h End (² )

b) Déterminer Kerh et en donner une base qu'on notera \beta '_1

c) Déterminer Im(h) et en donner une base qu'on notera \beta '_2

d) Montrer que \beta ' = \beta '_1 \bigcup{} \beta '_2 est une base de ²

e) Déterminer la matrice de h dans la base \beta ' = \beta '_1 \bigcup{} \beta '_2 de ² qu'on notera A'

NB  : On note = ( e_1 , e_2 ) la base canonique de ² où e_1 = (1,0) et e_2 = (0,1)

f) Calculer (A')^n \ pour tout n * et en déduire A^n où A est la matrice de h dans la base canonique \beta = ([tex]e_1 , e_2)[/tex] de ².

g) On pose F = \left\{u \in R² / h(u) = 4u \right\}

    i) Montrer que F est un sous espace vectoriel de ² et donner sa dimension.

   ii) Montrer que F = Im(h)

Eléments de réponses


1) Fait !

2-a ) Fait !

2-b) je trouve  Kerh = vect\beta '_1 avec beta '_1 = (1,1)

2-c) Im(h) = Vect\beta '_2 avec \beta'_2 = ( 1, -3 )

2-d) je suis bloqué

Posté par
GBZM
re : Matrices 14-04-21 à 10:26

Bonjour,

Vrai, tu n'arrives pas à démontrer que les deux vecteurs que tu as (je n'ai pas vérifié tes calculs) forment une base de \R^2 ???

Posté par
pfff
re : Matrices 14-04-21 à 10:29

Je dois proceder comment ?

Posté par
pfff
re : Matrices 14-04-21 à 11:07

voici comment j'ai essayé de faire :

On sait déja que ' est constitué de 2 = dim² vecteurs

etudions sa liberté

\lambda \beta ' = 0\Leftrightarrow \lambda _1\beta '_1 + \lambda _2\beta '_2 = 0

finalement je trouve \lambda _1  = \lambda _2 = 0

donc c'est une base de ²

Posté par
GBZM
re : Matrices 14-04-21 à 11:59

Ben voila,

Sinon, il est visible comme un nez au milieu de la figure que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires (pas de proportionnalité), et deux vecteurs non colinéaires dans un plan forment toujours une base de celui-ci.

Posté par
pfff
re : Matrices 14-04-21 à 12:04

je doutais vu qu'il y avait le symbole union

Posté par
pfff
re : Matrices 14-04-21 à 12:14

ensuite pour la question e)

on a h('1 ) = 0 et h('2)  = ( 4, -12 )

donc

A' = \begin{pmatrix}0 &4 \\ 0 & -12 \end{pmatrix}

pour la question f je ne vois pas comment faire

Posté par
GBZM
re : Matrices 14-04-21 à 13:31

Non, ça ne va pas : on te demande la matrice de h dans la base \mathcal B'. Reviens aux définitions : c'est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées DANS LA BASE \mathcal B' des images par h des vecteurs de \mathcal B'. Ce n'est pas ce que tu as fait.

Posté par
pfff
re : Matrices 14-04-21 à 13:47

comment je determine les vcteurs de ' ?

Posté par
GBZM
re : Matrices 14-04-21 à 15:00


Mais tu les as, les vecteurs b'_1 et b'_2 de la base \mathcal B' ! Quel est le sens de ta question ?
Tu as à exprimer les vecteurs h(b'_1) et h(b'_2) comme combinaisons linéaires de b'_1 et b'_2 ; rien de sorcier, je t'assure !

Posté par
pfff
re : Matrices 15-04-21 à 13:42

Oui je vois, désolé pour l'attente

h('1) = 0

h('2) = 4'2

Donc la matrice est :

A' = \begin{pmatrix}0 &0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

Posté par
GBZM
re : Matrices 15-04-21 à 15:22

Ouf !

Posté par
pfff
re : Matrices 15-04-21 à 17:48

Pour la question suivante j'ai montré par récurrence que :

(A')^n= \begin{pmatrix}0 &0 \\ 0 & 4^n \end{pmatrix} pour n *

Posté par
pfff
re : Matrices 15-04-21 à 17:52

Pour caluler (A)^n dois je utiliser la formule qui dit :

(A')^n = \rho^-^1A^n\rho avec la matrice de passage de à ' ?

Ou il y a une manière plus simple puisqu'on dit d'en déduire

Posté par
GBZM
re : Matrices 15-04-21 à 18:10

Quoi d'autre que d'utiliser la formule qui donne A^n en fonction de A'^n ?

Posté par
pfff
re : Matrices 16-04-21 à 15:47

ok d'accord. Merci pour tout



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