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Matrices : AB=BA

Posté par
jezy 09-03-19 à 16:59

Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un exercice sur les matrices :

Soit A=(a_{i,j}) une matrice carrée n*n. Montrer que :
BM_{n}(), AB=BA , A=.I_{n}

Le sens <= est trivial, mais l'autre je bloque un peu. Je voulais passer par la définition du produit matriciel:

(i,j) [1;n], (AB)i,j = (BA)i,j \sum_{k=1}^{n}{a_{i,k}b_{k,j} = \sum_{k=1}^{n}{b_{i,k}a_{k,j}

Mais je suis bloqué à là. Si l'un d'entre vous sait comment avancer, je suis preneur

Merci, bonne soirée

Posté par
jsvdbre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:06

Bonjour jezy.
Pour le sens que tu désires, tu peux commencer par prendre quelques matrices particulières S très simples (style un "1" quelque part et des "0" partout ailleurs) et écrire que SA = AS et regarder ce qu'il se passe.

Je pense que ça devrait débloquer la situation pour te rendre compte que seuls les coefficients diagonaux sont non nuls.

Tu traiteras la diagonale dans un second temps.

Posté par
jezyre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:15

Bonjour, merci pour votre réponse mais j'avoue ne pas voir clairement où ce raisonnement va me mener excepter voir ce qu'il se passe dans un cas très particulier. Je vais toutefois appliquer ce conseil

Posté par
jsvdbre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:24

On te dit que \blue \forall B \in M_n(\R) on a AB = BA et tu dois en déduire les coefficients de A.
Donc on commence par choisir des cas simples et on regarde ce qu'il se passe.

Or comment extraire les coefficients d'une matrice à l'aide d'opérations simples ? Sinon avec des matrices creuses.

Regarde par exemple le problème en dimension 2 :

Par hypothèse

\begin{pmatrix}0&1 \\0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 &1\\0&0 \end{pmatrix}

et tu en déduis que d = a et c=0

Donc A = \begin{pmatrix}a &b \\ 0 &a \end{pmatrix}

etc etc

Posté par
luzakre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:31

Bonsoir !
Puisque tu as "quelque soit B" ce doit être vrai pour les matrices de la base canonique (E_{p,q})_{1\leq p\leq q\leq n} dont le coefficient de ligne,colonne i,j est \delta_{p,i}\delta_{q,j}.

Posté par
carpediemre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:40

salut

bon luzak a complété ...

jezy @ 09-03-2019 à 17:15

Bonjour, merci pour votre réponse mais j'avoue ne pas voir clairement où ce raisonnement va me mener excepter voir ce qu'il se passe dans un cas très particulier. Je vais toutefois appliquer ce conseil
mais je complète son complété ...

ce qui est vrai pour toute matrice B est vrai pour certaines matrices B

donc ce qui est nécessaire pour les matrices élémentaires le sera nécessairement pour toute les autres matrices

d'autant plus que l'application B --> AB - BA est linéaire !!!

Posté par
jsvdbre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:48

Ah oui, joli la linéarité carpi ... ça résout pas mal de soucis sans se prendre la tête ... enfin un peu quand même.

Posté par
jsvdbre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 17:54

Euh ça résout quoi comme soucis en fait ... pas les calculatoires en tout cas, juste qu'on sait devoir trouver un SEV de Mn(IR) comme ensemble de solutions

Posté par
carpediemre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 20:13

ben ça permet de dire que si on a trouvé les conditions pour que par exemple A commutent avec les matrices P et Q ben on sait que A commute avec toutes les matrices aP + bQ avec a et b réels ...

ce n'était que pour compléter/confirmer le propos de luzak ...

Posté par
jsvdbre : Matrices : AB=BA 09-03-19 à 20:16

ok ok


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