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Matrices : besoin d aide
Salut à tous!
Je suis en première année de fac de maths/info et j'ai un petit problème avec des exos sur les matrices:
1°)
Etant donné 2 réels a & b, on pose Aa,b=
(a b)
(0 a)
a) Determiner tt les matrices M
M2(
) à coeff réels qui commutent avec A {La, g trouvé la solution, en donnant 4 coeff quelconques a M et qu'on calcule AM et MA, on obtient que M=
(
)
(0 ) }
b) On designe par Z l'ensemble des matrices 2*2 à coeff réels qui commutent avec toutes les autres, soit Z={MM2() /
NM2(), MN=NM}
i) Montrer que si m alors la matrice M=I2 est élément de Z {là non plus, aucun problème pour le demontrer, C après que ça se corse}
ii) Montrer que dans Z, il n'y a pas d'autres matrices (Indication: Prendre N=A0,1 puis utiliser a) ...) { Mais justement, a) nous montre que mI2 et une solution si =0 mais si 
0, ça nous donne d'autres solutions (enfin, a verifier la partie a), même si elle me parait bonne)}
2°)
Etant donné 3 réels a,b&c, on pose Dn(a,b,c)=det(Aa,b,c) ou Aa,b,c est une matrice a n lignes et n colonnes tel que:
aii=a
aij=b si j>i
aij=c si j<i
Soit Dn(a,b,c)=
|a b b ..... b|
|c a b ..... b|
|c c a b .. b|
|...............|
|c c ..... c a|
En clair, sur la diag. , des a, dans le triangle supérieur, des b et dans de tri inf, des c!
a) On suppose que b=c. calculer Dn(a,b,b) en vous inspirant d'un exo vu en TD {Je vous passe les details mais en se debrouillant pour avoir une matrice triangulaire supérieure, on obtient Dn(a,b,b)=(a/b+n-1)(bn)(a/b-1)n-1}
b) On suppose maintenant que cb et on pose 
n(
)=Dn(a+, b+, c+).
Etablir, grace a des opérations élémentaires, que n() est un polynome de degré 1 en (il existe & tel que n()=.+ )
(Indication: Il ne faut pas calculer explicitement &)
c) En déduire Dn(a,b,c) grace a des valeurs de bien choisies...
Si quelques uns d'entre vous ont l'amabilité de se pencher la dessus, MERCI, vraiment MERCI d'avance et a charge de revanche sur le forum!
Merci a tous et bravo pour ce site!
@+ Cyrille
à la question i) Montrer que si m appartient à R alors la matrice M=I2 est élément de Z,
c'est quoi m?
c'est la matrice? ds ce cas M appartient à M2(R)
j'ai qd même un peu regardé:
pour la question a)
si b=0 toutes les matrices commutent avec Aa,0 qui est ds ce cas une matrice diagonale.
pour la question b) ii)
Z ne peut pas contenir uniquement la matrice I2
la matrice nulle commute elle aussi avec toutes les matrices.
il doit manquer quelque chose dans l'énoncé
En effet, pour la question i), c'est M=mI2, m étant un réel quelconque.
Le M2(), c'est juste pour dire que l'on travaille avec des matrices carrées de dimension 2, ce qui parait logique puisqu'on cherche des matrices qui commutent avec d'autres carrées de dimension 2. Justement, je me suis posé une petite question: Il est marqué Aa,b. Mais faut il considérer a et b comme les coefficients d'une matrice 2*2 ou bien definissent-ils ses dimension(et les coeff par la même occaz?
Pour la suite, ça parait logique que ce soit la matrice identité(affecté d'un réel) qui commute avec toutes les autres matrices (et la matrice nulle par la même occaz puisque m) mais la question a) nous prouvre le contraire! Et pourtant, c'est elle qu'on est sencé utiliser pour y répondre!
J'ai pourtant verifier, j'ai recopié l'ennoncé tel que je l'ai sous les yeux, il n'y a(a priori) aucune erreur, mis a part le m que tu as judicieusement remarqué.
Salut,
Pour a)si b=0 en effet touts les matrices commutent avec Aa,o mais pas parcequ'elle est diagonale, parce que c'est a*I2
et ce qui te pose pb c'est que tu n'as pas étudié le cas a=0
j'ai vite regardé, en fait la question a) te dis que les matrices commutant avec toutes les matrices de la forme Aa,b sont de la forme A, si je ne me trompe pas.
Cependant si tu prends A(0,1) tu cherches les matrices qui commutent avec A0,1 elles sont de la forme m*I2, refait le calcul tu verras.
Si je pose Aa,b=
(a b)
(0 a)
et M=
( )
(
)
alors AM=
(a+b a+b)
( a a )
et MA=
(a b+a)
(a b+a)
Donc, si A et M commutent, AM=MA. Des cellules 1.1 et 2.2, on en deduit que =0 et de la cellule 1.2, que = Ca nous donne donc M=
( )
(0 )
avec &
Et ceci est valable pour toute matrice Aa,b
Oui excuse moi j'ai fait une petite erreur certainement sinon tu peux peut être regarder les matrices qui commutent avec
(0 0
b 0)
peut ^tre obtiendra tu qu'elle sont forcément de la forme (a' 0
b' a') et la tu auras fini car les seuls matrices qui s'écrivent des 2 formes sont celles de la forme m*I2
mais je n'ai pas fait le calcul ca reste à vérifier
En fait, ce que tu me dit, c'est de calculer quelles matrices commutent avec la transposée de Aa,b
Ca me donne la matrice M'=
( 0)
( )
Et donc, par analogie avec la matrice M obtenue dans la question a), on en deduit que =0, donc qu'on a affaire a la matrice m.I2
Bah ça a l'air de marcher, même si ça ne suit pas tellement l'indication qui m'est donnée. Merci
Oui c'était le conseil que je te donnais.
Pour l'exercice 2, c'est pareil je n'ai pas eu le temps de chercher, cependant il y a peut être moyen de faire comme cela,
Tout d'abord tu écris ton déterminant et tu poses
Ainsi il ne te reste du lambda que sur ta dernière colonne.
Ensuite tu fais
Et la tu n'auras plus qu'un terme en lambda qui sera le terme en bas à droite de ta matrice (ou plutôt de ton déterminant)
Et ceci implique forcément que ton déterminant est un polynôme de degré en lambda, ensuite pour les valeurs particulières de lambda -b et -c qui te permettent d'obtenir des matrices triangulaires supérieures, ainsi tu peux calculer beta qui correspond à la valeur de D(n), j'espère ne pas m'être trompé
Ok, maintenant, j'ai mon n() qui est de la forme +
Mais si je calcule pour -b et -c,en gardant la matrice initiale, CaD en ayant des matrices triangulaire, ça me donne n(-b)=(a-b)n (respectivement (a-c)n) ce qui ne m'avance a rien puisque ce n'est pas un polynome de degré 1
et j'ai beau torturer mon determinant dans tous les sens, je n'arrive pas a avoir qqch d'utilisable
Tu sais que
tu peux en déduire aisément que et donc tu as la valeur de Dn
Ah oui, en effet.
Et bien, merci beaucoup pour cette aide précieuse, je croit que le sujet peut être clos!.
j'ai des problemes pour resoudre des exos de matrices, alors s'il y a des gens ki peuvent m'aider ca sera trop cool!
exo:
1.soient C la base canonique ordonnee de |R puissance 3,
| |
| | -1 | | 0 | | 0| |
A= | | -8 | | 1 | | -166| |
| c| -3 | c| 2 | c| -44 | |
| | et
| |
| |3| |2| |0 | |
B=| |1| |0| |0 | |
| c|0| c|0| c|-1| |
| |
| | des bases de |R puissance 3
|1 | |10| |-864|
A[y] = |1 | , B[z] = |20| , c[w] = | 0|
|-1| |30| | 288|
a) Trouver cPa , cPb, D= aPc et aPb.
b) trouver A[w] , A[z] , c[y]
Merci d'avance
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