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Matrices commutantes

Posté par
Nallitsac
04-05-21 à 13:17

Bonjour, dans le cadre de mes révision je viens à vous avec un exercice qu'à ma grande honte, je réalise ne pas être capable de faire. J'ai tenté de répondre aux deux premières questions (que je sais fausses), et je reste bloqué sur tout le reste. Si vous acceptiez de me guider pas à pas à la bonne réalisation de ce travail, je vous en serait très reconnaissant.

Voici l'énoncé :

Pour toute matrice carrée A, on s?intéresse à l?ensemble C(A): les matrices B qui "com-mutent à A" ,i.e. telles que AB=BA ; il y en a beaucoup : B=A, B=I(unité), B=A2,...
Partie 1. Soit E=Mn(R), l?ensemble des matrices carrées d?ordre n >1, et soit A?E.
1) Vérifier que C(A)est un s.e.v de E. Pourquoi C(A) est non nul ?
2) Montrer que l?application f:E?E,f(B) =AB?BA, est un endomorphisme.
3) À l?aide du Théorème du Rang, établir la formule : rang(f) =n2?dim C(A).4. En déduire que f n?est pas surjective.

Partie II. On suppose n= 2etA=(a00b), avec a=/= b.

1) Décrire explicitement les matrices B ? C(A) : poser B=(x y)
                                                                                                                             (z t)
et résoudre le système.
2) En déduire que C(A)est un plan ; montrer ensuite que nous avons C(A) = Vect(I2,A).
3) Application :montrer qu?il existe un polynôme P(X) =X2??X+?, tel que P(A) = 0.
Ind. :inutile d?expliciter ? et ?, l?existence de P(X)se déduit de la propriétéA2 ? C(A).

Mes tâtonnements pour la partie 1 :

Concernant le 1) : Soit f(B) = AB-BA
Nous vérifions d'abord s'il s'agit bien d'une application linéaire :
i) f(0) = A*0 + 0*A = 0
donc f(B) est non vide.
ii) Soit g(B) = AB - BA et h(B) = AB' - B'A, alors g(B)+h(B) = AB-BA + AB'-B'A
avec AB-BA = 0 et AB'-B'A = 0 donc g(B)+h(B) = 0 donc g(B)+h(B) ? f(B)
iii) Soit k ? IR et g(B) = AB-BA alors k*g(B) = k*(AB-BA) = k*0 = 0
Donc k*g(B) ? f(B)
Donc f(B) est un sev de E.
Donc C(A) est unsev de E.

Pour le 2), on sait que B comme son image f(B) sont des sev de E puisque C(A) l'est.
Donc quel que soit la matrice B appartenant à E, son image f(B) appartient également à E.
Donc l'application f(B) est un endomorphisme.

Après, je n'y arrive pas. J'ai bien conscience d'avoir très probablement écris n'importe quoi précédemment. Pouvez-vous de m'aider s'il vous plaît ?

* Modération > niveau modifié en adéquation avec le profil *

Posté par
j123456
re : Matrices commutantes 04-05-21 à 16:21

Bonjour,
PARTIE 1
1)tu appliques la bonne méthode mais on ne sait pas trop à quoi. Il faut montrer que C(A) est un sev de E donc :
-montre que 0E commute avec A. Dans ce cas,  0E\in C(A).
-Prends 2 éléments de C(A) par exemple B et C. il faut en effet montrer que
B+C\in C(A).Puis tu prends un réel, par exemple k, et tu montres que k*B\in C(A).
A partir de là tu auras correctement appliqué la méthodes de ton cours.
De plus, C(A) n'est pas l'espace nul puisque comme tu l'as dit, la matrice identité appartient à C(A).

2)C 'est la même chose, il faut utiliser ton cours et je comprends pas trop ce que tu fais:
Un endomorphisme est une application linéaire ayant le même de ensemble de départ et d'arrivée. Vu la définition de f, il ne reste plus qu'à montrer que f est une application linéaire. Peux-tu me dire comment montrer que f est une application linéaire ?

3)Peux-tu me donner le théorème du rang? Qu'est ce que le rang d'une application linéaire? Connais-tu la dimension de E? Qu'est ce que le noyau d'une application linéaire ?

4)Pour la déduction, c'est du cours : Peux-tu donner une condition sur le rang de f pour qu'elle soit surjective ?

Pour la partie 2 je ne comprends pas bien ton énoncé, il faudrait que ce soit plus clair ..

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 04-05-21 à 18:05

Bonsoir,
Je me permets de revenir sur la méthode avec "f" pour traiter la 1ère question.
C'est une bonne idée, mais il faut la mettre en place correctement.
Si B est une matrice, écrire f(B) non vide ou f(B) est un sev n'a pas de sens puisque f(B) est une matrice.

Citation :
Soit f(B) = AB-BA
Ce qui précède ne définit pas f correctement.
On peut la définir ainsi :
Soit f l'application de E vers E définie par f(X) = AX-XA.
On peut ensuite démontrer que f est une application linéaire.
Je ne détaille pas, mais rien à voir avec ce qui écrit dans le 1er message.
Et conclure que son noyau C(A) est un sev de E.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 04-05-21 à 18:08

Je viens de voir que la question 2 introduit l'application f.
Il n'est donc pas attendu de s'en servir dans 1). Bien que ce n'est pas interdit de traiter les questions dans le désordre

Posté par
Nallitsac
re : Matrices commutantes 04-05-21 à 20:31

D'accord, merci pour vos réponses. Alors je reprends le 1), cela donne :

i) Soit C(A) = 0 : 0E*A = A*0E = 0, donc 0E commute avec A, donc C(A) est non vide.
ii) Soit B et D ∈ C(A) donc B = 0 et D = 0 : C(B+D) = 0+0 = 0. Donc B + D ∈ C(A)
iii) Soit k ∈ IR et B ∈ C(A) alors k*B = k*0 = 0
Donc k*B ∈ C(A)
Donc C(A) est bien un sev de E.

Par contre excusez-moi mais ne je me souviens pas avoir dit que la matrice identité appartient à C(A), ni comment je l'ai démontré. Si c'est un élément de l'énoncé, il m'a échappé...

2) Soient A et B deux matrices carrées M2(IR)
Soient M  et N ∈ B et λ et μ deux réels alors :
f(λM+μN) = A*(λM + μN) - (λM + μN)*A
=  λAM + μAN - λMA + μNA
= λ(AM - MA) + μ(AN - NA)
= λ(AM - MA) + μ(AN - NA)
= λf(M) + μf(N)
Donc  f(λM+μN) ∈ f(B)
Donc f(B) est une application linéaire.
Puisque l'on sait que f : E -> E et est une application linéaire, on en déduit que f(B) est un endomorphisme.

3) Théorème du rang : dim(E) = dim(ker(f)) + rg(f) avec rg(f) = dim(Im(f))
Ici la dimension de E est égale à l'ordre des matrices carrées soit n².
Donc on a : n² = dim(ker(f)) + rg(f) avec rg(f) = dim(Im(f))
Par contre je ne vois pas comment démontrer que C(A) = dim(ker(f)), et je ne suis pas sûr non plus pour le carré de n...

4) Si les espaces vectoriels de départ (C(A))) et d'arrivée (n²) sont de dimension finie et ont même dimension n, le théorème du rang permet d'établir que f est surjective. Ce qui n'est pas le cas ici : dim(E) = n² =/= dim(C(A)) car rg(f) =/= 0.

Est-ce correct ?

Et revoici la partie 2. :

Partie II. On suppose n= 2 et A=(a 0)
                                                                       (0 b), avec a=/= b.

1) Décrire explicitement les matrices B ∈ C(A) : poser B=(x y)
                                                                                                                              (z  t)
et résoudre le système.
2) En déduire que C(A)est un plan ; montrer ensuite que nous avons C(A) = Vect(I2,A).
3) Application : montrer qu'il existe un polynôme P(X) =X2−τX+δ, tel que P(A) = 0.
Indication : inutile d'expliciter τ et δ, l'existence de P(X) se déduit de la propriété
A2 ∈ C(A).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 11:30

Citation :
i) 0E*A = A*0E = 0E, donc 0E commute avec A, donc C(A) est non vide.
D'accord. Mais enlève ce "Soit C(A) = 0" du début qui gâche tout.

Citation :
ii) Soit B et D ∈ C(A) donc B = 0 et D = 0
Non.
B et D sont dans C(A) signifie AB=BA et AD=DA. Rien de plus.
Tu veux démontrer que la matrice B+D est dans C(A).
C'est à dire que A(B+D) = (B+D)A.
Pas très difficile.

Et c'est quoi ce "C(B+D)" alors qu'il n'y a pas de matrice C ?
Ou alors tu parles de l'ensemble des matrices qui commutent avec B+D ?
C'est hors sujet.

Pour ce qui est de la matrice I dans C(A), compare les produits AI et IA.

Commence par terminer 1) correctement avant de te lancer dans la suite.

Fais "Aperçu" avant de poster pour éviter des choses du genre
Citation :
f(B) est une application linéaire.
qui ne veut rien dire.

Posté par
j123456
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 14:51

Je me permets de finir de t'aider pour la partie 1, en espérant que tu as écouté les conseils de sylvieg.

2)Ce que tu fais est faux relis ce que sylvieg t'as mis au dessus f est une application, f(B) n'a pas de sens. De plus, pour montrer que f est linéaire, il te suffit de montrer quef(\lambda A+B)=\lambda f(A)+f(B) c'est ton cours et pour cela, tu as juste à utiliser la définition de f.

3)Pour cette question c'est bon. Donne moi la définition du noyau d'une application linéaire et déduis-en le noyau de f.

4)Encore une fois c'est ton cours, tu m'as dis, mais je ne suis pas sur car je ne comprends pas trop ce que tu dis, un autre théorème. f est surjective si et seulement si rg(f)=dim(E).Pourquoi f n'est pas surjective ici ?

Redis-nous où tu en est pour qu'on t'aide pour la partie 2

Posté par
Nallitsac
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 14:58

Excusez-moi je ne suis pas sûr de comprendre votre correction. En somme on a :
ii) Soient B et D ∈ C(A),  donc A(B+D) = (B+D)A, je ne voit pas vraiment comment le "démontrer" plus méthodiquement.
Pour ce qui est des produits AI et IA, et si vous faîtes bien référence à la matrice identité, on a : AI = A = IA, donc AI = IA

Malgré mes erreurs sur le 1), pouvez-vous m'indiquer si je suis sur la bonne voie dans les autres points de l'exercice s'il vous plaît ?

Posté par
Nallitsac
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 15:00

Nallitsac @ 05-05-2021 à 14:58

Excusez-moi je ne suis pas sûr de comprendre votre correction. En somme on a :
ii) Soient B et D ∈ C(A),  donc A(B+D) = (B+D)A, je ne voit pas vraiment comment le "démontrer" plus méthodiquement.
Pour ce qui est des produits AI et IA, et si vous faîtes bien référence à la matrice identité, on a : AI = A = IA, donc AI = IA

Malgré mes erreurs sur le 1), pouvez-vous m'indiquer si je suis sur la bonne voie dans les autres points de l'exercice s'il vous plaît ?


Excusez-moi, je n'avais pas vu le message de j123456 ! Je vais en prendre connaissance.

Posté par
j123456
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 15:15

Tu dis B\in C(A) donc B=0 mais c'est faux et c'est ce que te dis sylvieg  B\in C(A) donc B commute avec A c'est à dire AB=BA et c'est tout.

Ce que tu dis est juste mais il faut le justifier :A(B+D)=AB+AD or  B, D\in C(A) donc B et D commutent avec A (ce qui est rarement le cas puisque le produit matriciel n'est pas commutatif) donc AB+AD=BA+DA=(B+D)A. B+D commute avec A donc  (B+D)\in C(A)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 15:35

@j123456,
Merci de continuer à aider Nallitsac.
Juste deux remarques
- Sur

Citation :
pour montrer que f est linéaire, il te suffit de montrer quef(\lambda A+B)=\lambda f(A)+f(B) c'est ton cours
Nous ne savons pas ce qui est écrit dans le cours de Nallitsac.
A l'époque où j'étais étudiante, on donnait et utilisait la propriété avec f(\lambda A+\mu B)

- Ne pas utiliser la lettre A pour désigner autre chose que ce qui est dit au début de l'énoncé de l'exercice.
J'ai utilisé B et C dans mon précédent message. Mais C peut aussi prêter à confusion avec le C de C(A)...
ll serait peut-être plus judicieux d'utiliser les lettres X et Y.

Bonne continuation à tous les deux.

Posté par
Nallitsac
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 18:25

@j123456
D'accord, donc pour le 2) :
ii) et iii) Soient A et B deux matrices carrées M2(IR) :
C(λA+B) = C(λA) + C(B) = λC(A) + C(B)
Donc C(A) est un sev de E.

Pour le 3), ker(f) ={x ∈ E | f(x) = 0}, et est apparemment égal à n². Je ne comprends toujours pas pourquoi.

Pour le 4), f est surjective si et seulement si rg(f) = dim(E). Ici, rg(f) =/= dim(E), car dim(ker(f)) =/= 0. Donc f n'est pas surjective.

Pour la partie 2. 1), je n'ai à peu près aucune idée de par où commencer : je ne comprends même pas la question...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 05-05-21 à 20:55

Citation :
D'accord, donc pour le 2) :
ii) et iii) Soient A et B deux matrices carrées M2(IR) :
C(λA+B) = C(λA) + C(B) = λC(A) + C(B)
Donc C(A) est un sev de E.
Je ne comprends rien à ce que tu as écrit dans l'avant dernière ligne.
C(B) serait l'ensemble des matrices qui commutent avec B. Ce n'est pas une matrice.
La conclusion "Donc C(A) est un sev de E" concerne la question 1).

Tu as déjà démontré que la matrice nulle est une matrice de C(A).
Pour démontrer la fin du 1), afin d'éviter A et C qui prêtent à confusion, j'utilise les lettres X et Y :
Soient X et Y deux matrices dans C(A). Elles vérifient donc AX = XA et AY = YA.
Il faut démontrer que pour tout k réel on a la matrice X+kY qui est dans C(A).
En notant Z = X+kY, il faut donc démontrer AZ = ZA.

Posté par
Nallitsac
re : Matrices commutantes 06-05-21 à 02:07

Oui pardon, j'ai confondu le 1) avec le 2), donc nous avons :
i) 0E*A = A*0E = 0E, donc 0E commute avec A, donc C(A) est non vide.
ii) et iii) Z = X+kY
Donc ZA =  A(X+kY) = AX+kAY = (X+kY)A = ZA
Donc X+kY est dans C(A)
Donc C(A) est un sev de E.
Pour la question pourquoi C(A) est non nul, je ne comprends pas la question.

Pour les autres questions de la partie 1., j'ignore si j'ai bon. Je sais ne pas comprendre en 3) pourquoi dim(ker(f)) = n².

Pour la partie 2. 1), je" ne suis pas sur d'avoir compris la question. je calcule donc AB et BA :
AB = (ax   ay) et BA = (xa   yb) donc AB =/= BA.
            (bz   bt)                   (za   tb)
Ce qui contredit complètement le postulat de C(A)...
Pour les 2) et 3) : je ne sais pas comment procéder...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 06-05-21 à 08:55

Ceci est incomplet :

Citation :
ii) et iii) Z = X+kY
Donc AZ = AX+kAY = (X+kY)A = ZA
Préciser que X et Y sont pris dans C(A) au départ. Puis justifier le =.

Pour la question "pourquoi C(A) est non nul", il faut la comprendre ainsi :
Pourquoi C(A) contient autre chose que la matrice nulle.
Il faut donc exhiber une matrice non nulle qui est dans C(A).

Pour 3) de la partie 1, dim E = n2. C'est du cours.
Ensuite, compare ker(f) avec C(A). Et utilise que C(A) contient autre chose que la matrice nulle.

Pour 2) de la partie 1, tu as fait quelque chose à le 4 à 20h31.
Préciser que tu pars avec deux matrices quelconques de E (pas dans B, ce qui n'a aucun sens) :
Soient M et N ∈ E et λ et μ deux réels alors
f(λM+μN) = A*(λM + μN) - (λM + μN)*A
= λAM + μAN - λMA + μNA
= λ(AM - MA) + μ(AN - NA)
= λ(AM - MA) + μ(AN - NA)
= λf(M) + μf(N)
Écrire ceci à la fin n'a aucun sens
Citation :
Donc f(λM+μN) ∈ f(B)
Donc f(B) est une application linéaire.
puisque f(B) n'est pas un ensemble mais une matrice. Par ailleurs, la matrice B ne sert à rien.

Je répète qu'il faut faire "Aperçu" avant de poster et se relire soigneusement.

Posté par
Nallitsac
re : Matrices commutantes 06-05-21 à 23:29

Oui effectivement J'ai voulu écrire AZ et non ZA à cet endroit.
Une matrice non nulle qui est dans C(A) serait la matrice identité de B, puisque l'élément neutre définit l'ensemble C(A) (avec des matrices commutantes du type A = B).

Pour le 2),  mis à part la ligne de fin (on ne cherche en effet pas la matrice f(B)), ai-je bon sur le déroulé de l'exercice ? Et si oui dois-je dire que "l'application f est bien un endomorphisme", ou manque-t-il autre chose ?

Pour le 3), puisque C(A) contient la matrice identité, et puisque cette matrice identité définit la commutativité dans l'ensemble C(A), alors C(A) = ker(f).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Matrices commutantes 07-05-21 à 08:36

On va considérer que 1) et 2) sont traités.
Pour le 3), la matrice identité n'a rien à faire là.
Écrire la définition du noyau et l'appliquer à f.



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