Niveau Licence-pas de math

Matrices/Corps commutatif

Posté par
zartos 07-06-20 à 03:06

Bonjour,

Montrer que l'ensemble $K \subset Mat_{2*2}(\R)$ , qui est composé des matrices de la forme $\left(\begin{matrix} \\ x & y \\ \\ -y & x \end{matrix}\right)$ et muni des deux lois internes addition et multiplication des matrices est un corps.

PS: on a déjà vu dans le cours que l'ensemble $Mat_{n * n}(\K)$ formait un anneau.

Merci d'avance

Posté par re : Matrices/Corps commutatif 07-06-20 à 03:18

Bonjour

Il reste alors à montrer que tout élément sauf le 0 est inversible, non ?

Posté par re : Matrices/Corps commutatif 07-06-20 à 03:52

Exact! Peut-on montrer cela sans avoir recours au calcul du determinant? ( on n'en est pas encore arrivé et je ne suis pas sûr si je peux l'utiliser )

Posté par re : Matrices/Corps commutatif 07-06-20 à 04:46

vois ce que fais le produit de deux matrices de K, et essaie de voir si étannt donnée la matrice [x y ; -y x] tu peux trouver une matrice [a b ; -b a] telle que leur produit vaut l'identité

Posté par re : Matrices/Corps commutatif 07-06-20 à 06:28

Ah oui, le calcul du déterminant est beaucoup plus rapide et on n'a même pas besoin de calculer a et b
Tu es sûr que tu n'as jamais vu qu'une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non-nul ?

Posté par re : Matrices/Corps commutatif 07-06-20 à 07:47

Bonjour
Il ne faudrait pas , par hasard , montrer d'bord que K est stable pour les lois de M₂() ?

Posté par re : Matrices/Corps commutatif 07-06-20 à 08:40

Bon dimanche,

En fait :
- montrer que $K$ est un sous-anneau de $M_n(\R)$
- montrer que la multiplication est commutative dans $K$
- montrer que tout élément non nul de $K$ a un inverse dans $K$

Il y aurait bien une autre voie plus rapide ... mais il faut deviner qui est $K$ .