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Matrices et algèbre linéaire
Bonjour,
Soit f l'endomorphisme de K^n qui permute circulairement les vecteurs de sa base canonique.
Après avoir montré que M=Mat[/sub]B(f) où B=(e[sub]1,e[/sub]2,...,e[sub]n),je me demande commment calculer son inverse de 2 façons différentes ?
Merci d'avance
On a f(ei=ei+1 pour i compris entre 1 et n-1
et f(en)=e1
On a donc :
f-1(e1)=en
f-1(ei)=ei-1 pour i compris entre 2 et n
On peut en déduire la matrice inverse de M.
d'accord merci bien
il y a qqchose que je ne comprend pas. Dans la suite on pose
F: K[/sub]n[X]-> K[sub]n[x]
P->P'
et B=(1,X,...,X[sup][/sup]n)
et on me demande de donner A=Mat[sub][/sub]B(F). Mais comment est-ce possible puisque je ne connais pas exactement l'expression de P ?
Pour cela, tu calcules F(Xi) pour tout i compris entre 1 et n et tu l'exprimes dans la base B.
Par exemple :
F(1)=0 donc la première colonne de la matrice A est une colonne de 0.
F(X)=1 donc dans la deuxième colonne de ta matrice, tu obtiens un 1 suivi de 0.
etc...
Donne ta réponse si tu veux que je vérifie...
Assez intéressant comme exercice.
Notamment, dans une base de Kn[X] bien choisie, f correspond presque à la dérivée ou l'intégration entre 0 et t, suivant la façon donc on permute les éléments.
j'ai trouvé
A= 0 1 0 0 ..... 0 0
0 0 2 0 ..... 0 0
. . 0 3 ..... . .
. . . 0 ..... (n-1) 0
. . . . ..... . n
0 0 0 0 ..... 0 0
est-ce que c'est ça ?
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