Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Calcul matricielTopics traitant de calcul matriciel [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Matrices et suites interdépendantes

Posté par
Raxouuw 04-11-15 à 17:44

Bonsoir,

Je dois rendre un DM pour demain et il y a un exercice où je bloque sur plusieurs questions. Voici l'énoncé :

On cherche les expressions explicites de deux suites interdépendantes.
Soit deux suites (Un) et (Vn) telles que : Un+1 = Un - 0.024*Vn
                                           Vn+1 = Vn - 0.15*Un

1/ Ecrivez le système sous forme matricielle : Un+1 = A*Un <=== Les lettres en majuscules représentent ici des matrices
2/ Calculez les solutions de l'équation (1-x)² = 0.024*0.15 qu'on notera x1 et x2.
3/ Déterminez une matrice carrée d'ordre 2 notée P telle que P*A = (x1 , 0 , 0 , x2) * P  <=== Pour la parenthèse, j'ai mis les éléments d'une matrice d'ordre 2 où les deux premiers éléments sont dans la première ligne de cette dernière.
4/ Calculez An pour tout entier n naturel et répondez au problème.

J'ai mis l'exercice entier pour vous montrer les étapes de la réflexion, mais seules les deux dernières questions sont celles qui me bloquent.

Pour la question 3, j'ai remplacé A par la matrice entière et mis les solutions de l'équation de la question 2 dans la matrice du membre de droite. Le problème est que j'arrive à une expression où je me retrouve avec P*P-1 dans un même membre alors que je dois trouver cette matrice P.

La question 4 est pour moi la plus difficile car je n'arrive pas tout simplement pas à calculer An et encore moins à répondre au problème. Je pensais calculer An peut-être avec une démonstration par récurrence mais je ne pense pas que ça va marcher.

Une petite aide s'il vous plaît ?

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 18:42

Bonjour,

3) Pose P=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

Puis résout le système défini par:

P.A=D.P avec D=\begin{pmatrix}1.06&0\\0&0.94\end{pmatrix}

Au final, tu choisiras une matrice P qui convient.

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 18:45

Je suppose que u_0 et v_0 ne sont pas donnés ?

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 18:52

Pour info, le système de 4 équations à 4 inconnues a,b,c,d est équivalent au final à:

\begin{cases}2a+5b=0\\2c-5d=0\end{cases}

Ce qui permet de déterminer une matrice P; par exemple:

P=\begin{pmatrix}5&-2\\5&2\end{pmatrix} convient.

Posté par
Raxouuwre : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 19:54

Bonsoir,

J'ai suivi la démarche que tu m'as dite. J'arrive bien sur un système de 4 équations à 4 inconnues, mais les solutions que je trouve me semblent ... loufoques : Je suis arrivé à -0.024c = 0.024c dans une des équations ...

J'ai développé et réduit chaque élément des deux matrices qu'on obtient dans chaque membre de l'équation, puis j'ai déduit le système en mettant en équation chaque élément de chaque matrice ... Est-ce bien ça ?

Pour répondre à ta question, les premiers termes des deux suites ne sont pas donnés.

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 20:23

Tu as dû faire une blague quelque part...

Citation :
J'ai développé et réduit chaque élément des deux matrices qu'on obtient dans chaque membre de l'équation, puis j'ai déduit le système en mettant en équation chaque élément de chaque matrice ... Est-ce bien ça ?


Tout à fait ça.

Je ne puis que te conseiller de reprendre tes calculs.

Tu dois arriver à ce genre de système:

\begin{cases}0.06a+0.15b=0\\0.024a+0.06b=0\\0.06c-0.15d=0\\0.024c-0.06d=0\end{cases}

Système équivalent à:

\begin{cases}2a+5b=0\\2c-5d=0\end{cases}

Posté par
Raxouuwre : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 21:17

J'ai testé à la calculette si les valeurs étaient justes et c'était le cas, donc c'est bien moi qui ai fait une faute.
Cependant, le système que j'obtiens n'est toujours pas le même après avoir refait la question plusieurs fois.
Dans le système P*A = $\begin{pmatrix}0.94&0 \\ 0&1.06\end{pmatrix}$ * P, voici les matrices que je connais :
P = $\begin{pmatrix}a&b \\ c&d\end{pmatrix}$
A = $\begin{pmatrix}1&-0.024 \\ -0.15&1\end{pmatrix}$

En développant, j'obtiens :
$\begin{pmatrix}a-0.15b&-0.024a+b \\ c-0.15d&0.024+d\end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix}0.94a&0.94b \\ 1.06c&1.06d\end{pmatrix}$

Donc le système est :

a-0.15b = 0.94a \\ -0.024a+b = 0.94b \\ c-0.15d = 1.06c \\ -0.024c+d = 1.06d

Le problème est que je n'ai pas du tout le même système que le tien après avoir "travaillé" le système.

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 21:25

Ton système est juste.

Passe tout dans le membre de gauche et réduit.

Ce ne sera pas tout à fait le même système que le mien parce que tu as inversé x_1 et x_2 par rapport à moi.

Ce n' est pas grave...

Posté par
Raxouuwre : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 21:59

Je viens de réduire le système, j'ai obtenu ce système-là :

0.06a-0.15b = 0 \\ -0.024a-0.06b = 0 \\ -0.06c-0.15d = 0 \\ -0.024-0.06d = 0

Les solutions que j'ai obtenues sont a=b=c=d=0 ... Pour être honnête, cette matrice peut convenir pour vérifier l'équation, mais j'ai du mal à croire que c'est la matrice que je recherche. Est-ce que cela semble vraisemblable ?

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 22:07

Une erreur de signe à la seconde équation:


-0.024a+0.06b=0

Les deux premières équations sont les mêmes (à un coefficient multiplicatif près)

Elles sont équivalentes à 2a-5b=0

Idem pour les deux dernières équivalentes à: 2c+5d=0

Posté par
Raxouuwre : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 22:39

Je pense avoir compris d'où vient mon erreur. J'ai encore une question : qu'entends tu par système équivalent ? Parles-tu d'une combinaison dans le système ?

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 04-11-15 à 22:59

2 systèmes sont équivalents s' ils ont les mêmes solutions

Prenons la première équation:

0.06 a-0.15 b=0 et on multiplie les deux membres par \dfrac{100}{3}

On obtient: 2a-5b=0

Puis la seconde:

-0.024a+0.06b=0 et on multiplie les deux membres par -\dfrac{1000}{12}

On obtient: 2a-5b=0 tiens !

Et on peut dire que le système formé par les deux premières équations est équivalent à l' équation: 2a-5b =0

De la même manière, le système formé par les deux dernières est équivalent à: 2c+5d=0

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 05-11-15 à 00:01

Bon, je termine...

On est donc ramené au système:

\begin{cases}2a-5b=0\\2c+5d=0\end{cases}

Une matrice P possible (elle n' est pas unique):

P=\begin{pmatrix}5&2\\5&-2\end{pmatrix}

4) On a donc A=P^{-1}DP avec D=\begin{pmatrix}0.94&0\\0&-1.06\end{pmatrix}

On est condamné à calculer P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{pmatrix} (après calculs)

Pour voir ce qui se passe calculons A^2:

A^2=P^{-1}D\underbrace{PA}_{DP}

A^2=P^{-1}D^2P

On montre par récurrence que A^n=P^{-1}D^nP

or D^n=\begin{pmatrix}0.94^n&0\\0&1.06^n\end{pmatrix}

Du coup, A^n=P^{-1}D^nP=\begin{pmatrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0.94^n&0\\0&1.06^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&2\\5&-2\end{pmatrix}

Tous calculs faits:

A_n=\begin{pmatrix}\frac{1.06^n+0.94^n}{2}&-\frac{1.06^n-0.94^n}{5}\\-\frac{5(1.06^n-0.94^n)}{4}&\frac{1.06^n+0.94^n}{2}\end{pmatrix}

On peut montrer ensuite par récurrence que U_n=A^nU_0

ce qui donne:

\begin{cases}u_n=\frac{1.06^n+0.94^n}{2}\,u_0-\frac{1.06^n-0.94^n}{5}\,v_0\\v_n=-\frac{5(1.06^n-0.94^n)}{4}\,u_0+\frac{1.06^n+0.94^n}{2}\,v_0\end{cases}

Posté par
Raxouuwre : Matrices et suites interdépendantes 05-11-15 à 01:15

Je dois admettre que je te suis très reconnaissant pour cet exercice, néanmoins j'ai une remarque : Pour ma part, j'avais trouvé la matrice D telle que D = $\begin{pmatrix}0,94&0 \\ 0&1,06\end{pmatrix}$. Corrige-moi si j'ai tort, mais pourquoi y a-t-il un moins dans l'élément D2,2 ? Les solutions de l'équation de la question 2 sont normalement positives (C'est du moins ce que j'ai trouvé).

Posté par
lakere : Matrices et suites interdépendantes 05-11-15 à 08:21

Il n' y a pas de -: c' est une faute de frappe de ma part.
Tout le reste est bon...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !