re-Bonjour, Karim.

Cet exercice est beaucoup plus difficile. On va d'abord transformer l'exercice de la manière suivante:

Pour tout endomorphisme u d'un C-espace vectoriel E de dimension n de trace nulle, il existe une base B de E telle que la matrice de u dans B a tous ses termes diagonaux nuls.

Il n'y a pas de difficulté lorsque n=1. Maintenant, si on suppose que la propriété est vraie au rang n et si on considère un endomorphisme u d'un C-espace vectoriel de dimension n+1 dont la trace est nulle:

Premier cas: il existe un vecteur x de E tel que (x,u(x)) est libre. On complète (x,u(x)) en une base (x,u(x),e_3,...,e_{n+1}). Que peux-tu dire de la matrice de u dans cette base (en fait, ici, seul le terme a_{1,1} m'intéresse)

je dirais que dans la première colonne, j'ai un 0 puis dans la deuxième ligne 1, mais après je ne vois pas quoi mettre !

C'est cela. On va écrire cette matrice sous la forme



où L est un vecteur-ligne, C un vecteur-colonne et A une matrice (n lignes x n colonnes).

Puisque u est de trace nulle, la trace de A est nulle. On peut appliquer la propriété au rang n à la matrice A. Il existe une matrice P de GL_n(C) telle que:

P^{-1}AP= A'

avec A' matrice dont tous les termes diagonaux sont nuls.

On pose alors:



En calculant Q^(-1)MQ, qu'obtiens-tu ?

j'obtiens effectivement une matrice de trace nulle !
Mais comment puis-je penser à distinguer ce cas en particulier, puis à cette fameuse matrice Q ?

C'est pour ça que j'ai largement détaillé la solution. L'expérience montre que peu d'étudiants trouvent la solution seuls (et beaucoup ne la comprennent pas).

Attention, l'exercice n'est pas terminé !!! Il reste encore à étudier le

Deuxième cas: Pour tout x de E, (x,u(x)) est lié. As-tu vu l'exercice ci-dessous?
u est un endomorphisme d'un espace vectoriel tel que, pour tout x de E, (x,u(x)) est lié. Montrer que u est une homothétie.

oui oui je le connais !
donc une homothétie a pour matrice des lambda en diagonale c'est bien ca ?

Oui, et comme la trace est nulle, les lambda sont nuls

Donc pour aborder un exercice de ce type quels sont les réflexes à avoir, parce que là ces idées je les comprends s'ils sont posés en tant que questions intermédiaires ... mais sinon comment penser à tout cela ?
Merci perroquet pour tout

Comme je te l'ai expliqué précédemment, l'exercice est très difficile à faire s'il n'y a pas d'indication et s'il n'a pas été fait précédemment.

J'ai eu un étudiant qui a eu cet exercice au concours des ENSI avec une question intermédiaire:

On suppose qu'il existe un vecteur tel que (e,Ae) est libre. Montrer que A est semblable à une matrice dont la première colonne est  (0,1,0,...,0) (à mettre en colonne, bien sûr).

Il a eu beaucoup de chance parce qu'on avait traité cet exercice en classe 15 jours avant. Il m'a écrit par la suite que s'il n 'avait pas fait l'exercice en classe, il n'aurait rien trouvé.

Enfin, je suppose que tu es en Maths Sup. Il y a beaucoup de cours en Spé, qui ressemble à ce genre de choses. Ca aide bien ..

d'accord merci perroquet, tu me donnes un brin d'espoir