Soit la matrice
On voit que ou et sont les matrices identité et nulle de
. La matrice A est annulée par le pôlynome . Comme n'est pas nulle, le pôlynome minimal de est , le même que ce de . En général c'est pas vrai que deux matrices avec le même pôlynome minimale sont semblable mais ca va pour les matrices . En effet, on peut voir que si et alors soit que avec ou que avec . Dans le premier cas, on conjugue avec pour obtenir et dans le second, on conjugue avec pour obtenir .

On conjugue avec avec pour obtenir .

iahim : attention, il y a un saut dangereux dans le raisonnement ! Si A est annulée par le produit de polynômes QR et Q(A) 0, ce n'est pas pour ça que R(A)=0. Il faut argumenter plus pour montrer que le polynôme minimal de A est X²+1 (ce qui est vrai).

On peut alors argumenter que est unitaire et irréductible sur et, comme est un anneau principal (car est un corp) l'idéal annulateur de est géré par ? veut dire que est dans l'idéal annulateur de .

Et alors? Où est l'argument?

Pour remettre les choses dans le droit chemin :
Puisque A est non nulle, il existe un vecteur u tel que Au 0. Soit v = Au. Alors
1°) Montrer que (u,v) est une base de ².
2°) Ecrire la matrice de x Ax dans la base (u,v) avec deux coeffcients indéterminés pour l'image de v, et utiliser A³+A = 0 pour déterminer ces coefficients.

On peut faire plus vite et sans calcul, en raisonnant sur les valeurs propres.

Merci beaucoup GaBuZoMeu. J'ai eu la fausse impression que le polynôme minimal d'une application linaire soit irréductible. Dans la plus part de cas c'est bien le contraire. Ta solution offre la recette générale pour des problèmes comme ceci.