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Matrices semblables qui commutent?
Hello !!
J'aurai besoin de vos lumières sur un exo:
On me demande de montrer que 2 matrices A et B sont semblables => ok
et d'en déduire l'ensemble des matrices qui commutent avec A...
[ (M commute avec A) <=> (AM = MA) c'est bien ça ?? ]
Alors, là, le "en déduire" me géne car je ne vois pas de lien avec les matrices semblables...
J'ai trouvé l'ensemble avec une matrice M quelconque (j'ai pris des coeff a b c d ... h i), j'ai calculé AM et MA j'ai sécoué, ça tombe tout seul (avec des égalités et relation entre les coefficients) bon ca marche (j'ai vérifié à la calto) mais je n'utilise pas le fait que A et B sont semblables....
Un peu d'aide ne serait pas de refus
Sauf erreur voila ce que j'aurais fait :
Montre que si N commute avec Z alors elle est trigonalisable dans la même base que A.
Réciproquement montre que si A et N sont trigonalisables dans la même base alors elles commutent.
Soit P matrice de passage de A à B.
L'ensemble des commutants de A est donc l'ensemble des matrices de la forme où (a,b,c,d,e) est dans R5
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