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Matrices Spécialité

Posté par
iPaul 24-09-12 à 11:55

Bonjour, j'ai un exercice ou l'on me demande de conjecturer une expression d'une matrice à l'aide des premières puissances de celle-ci, voici la matrice:

     (0 -1 1)
C=(1 0 -1)
     (-1 1 0)
La question exacte est la suivante: Calculer les premières puissances de la matrice C à l'aide de la calculatrice . Conjecturer une expression de C^n en fonction de n (on sépare le cas n pair du cas n impair) et démontrer cette conjecture.

J'ai effectué les calculs des premières puissances mais je ne vois pas du tout quoi conjecturer.

Merci de votre aide


* Tom_Pascal > niveau modifié, pense à mettre à jour ton profil si nécessaire STP ! *

Posté par
iPaulre : Matrices Spécialité 24-09-12 à 11:56

Je me suis trompé de catégories

Posté par
Nofutur2re : Matrices Spécialité 24-09-12 à 14:26

Pour n impair

si a=(3)n-3

Cn=(-1)n-3(0 -a a ; a 0 -a ;-a a 0)

Posté par
iPaulre : Matrices Spécialité 25-09-12 à 13:58

Pouvez-vous expliquez avec plus de détails ?

Posté par
DHilbertre : Matrices Spécialité 25-09-12 à 14:51

Très rapidement : L'on a A=\left(\begin{array}{rrr}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\\\end{array}\right), si bien que A^2=\left(\begin{array}{rrr}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\\\end{array}\right). Finalement, un calcul nous montre clairement que A^3=-3\,A, A^5=-3\,A^3=(-3)^2\,A, (...), de telle que l'on peut conjecturer que A^{2\,p+1}=(-3)^p\,A. De manière analogue, l'on a A^4=-3\,A^2, A^6=-3\,A^4=(-3)^2\,A^2, (...), de telle sorte que (...)

Vois-tu ?

A +

Posté par
iPaulre : Matrices Spécialité 26-09-12 à 21:36

Oui merci beaucoup !

Donc pour n pair j'aurais ici: A^2n=(-3)^{n-1}A^2 il me semble.

PS: Désolé de ma réponse tardive, j'avais ma JDC.

Posté par
iPaulre : Matrices Spécialité 26-09-12 à 21:38

Rectification: A^{2n}=(-3)^{2n-1}A^2

Posté par
DHilbertre : Matrices Spécialité 26-09-12 à 21:52

Pourtant A^{2\,(p+1)}=A^{2\,p+1}\,A=\left((-3)^p\,A\right)\,A=(-3)^p\,A^2.

A présent, il faut démontrer ces conjectures !

A +

Posté par
iPaulre : Matrices Spécialité 26-09-12 à 22:00

Je n'ai pas bien comprit à quoi sert ce que vous venez de me dire. Pour la démonstration par récurrence qui doit suivre ?

Posté par
DHilbertre : Matrices Spécialité 26-09-12 à 22:07

Rappel :

Citation :
Conjecturer une expression de C^n en fonction de n (on sépare le cas n pair du cas (...) impair) et démontrer cette conjecture.


A +

Posté par
iPaulre : Matrices Spécialité 26-09-12 à 22:27

Je fais ça demain dès que possible, je rédige et je le poste ici en espérant ne pas me tromper ! Merci encore de votre aide précieuse


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