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Mauvaise balance vs mauvaise pièce
Bonjour à tous 
Tout le monde connait le problème de la fausse pièce qu'il faut retrouver parmi douze en trois pesées .
Voici une variante originale .
On a récupéré neuf pièces d'apparence identique , cependant l'une d'entre-elles est plus légère que les autres . D'autre part on a trois balances d'apparence identique genre Electronic-Roberval mais l'une d'entre-elles raconte n'importe quoi .
Comment retrouver avec ces balances la fausse pièce en trois pesées 
Amusez-vous bien .
Imod
salut
un peu bizzare ce probleme si on sait qu'une balance n'affiche pas correctement le poids on ne s'en sert pas
- on reparti 3 pièces sur chaque balance qui marche , si il y a equilibre c'est que la pièce cherchée se trouve dans le dernier lot non pesé , en utilisant les balances qui marchent on peut immediatement l'identifier.
si il y a desequilibre c'est que un ensemble de trois pièces pesé sur l'une des balances qui marche contient la pièce cherchée , apres la suite est simple .....
C'est quoi une balance Electronic-Roberval? Une Roberval est une balance à deux plateaux et une électronique est une balance à un plateau qui affiche le poids de façon numérique? Comment on combine les deux? x)
Comment une Roberval peut raconter n'importe quoi? Ne verrait-on pas que les plateaux vides ne sont pas équilibré même sans effectuer de pesée?
Je suis perdu ^^'
J'ai voulu simplifier les explications mais je n'ai fait que compliquer les choses
On a bien des balances à deux plateaux qui ne fournissent que trois résultats possibles : gauche, droite ou équilibre . Deux d'entre-elles fonctionnent parfaitement mais la troisième ( ressemblant aux autres à s'y méprendre ) , délire complètement et peut raconte n'importe quoi : vérité ou mensonge .
Il faut trouver la fausse pièce en quatre pesées .
J'espère que c'est plus clair .
Imod
Bonjour
Je l'avais bien compris comme ça. J'ai commencé à réfléchir à ce casse-tête et ce n'est pas évident à première vue.
Est-ce que la balance qui délire raconte n'importe quoi toujours de la même manière? Ou deux pesées identiques peuvent donner des réponses différentes?
Dans le second cas j'ai la recette si dessous qui permet de trouver la pièce la plus légère en 5 pesées (donc une de trop) :
Cliquez pour afficherSI ça pue l'analyse automatique c'est parce que c'est le cas
Cette balance "qui dit n'importe quoi" fait qu'une étude "bourrin" où on envisage tous les cas donne comme si on avait 9 balances. Pour chaque balance, soit elle est juste soit elle pèse plus lourd d'un côté, soit elle pèse moins lourd du même côté. Bien sûr, à chaque nouvelle pesée on a "9" balances d'où, pour 4 pesées cela fait 9 puissance 4 soit 6561 cas à examiner à condition encore de choisir les bonnes billes à placer sur chaque plateau à chaque fois.
On peut sûrement faire mieux mais l'idée de départ est là. Pas simple ...
Il y a beaucoup moins de cas à examiner :
La pièce légère peu être n'importe laquelle des 9 pièces et la balance cassée peu être n'importe laquelle des 3 balances ce qui fait seulement 27 états possibles.
Si les cas représentent une séquence de pesées alors il n'y a quand même que 3 résultats possible pour chaque pesée ce qui donne pour 4 pesée 34 = 81 séquences possibles.
Il faut choisir correctement les pesées de façon à ce que chaque séquence amène à au plus un état.
Je ne vois pas comment tu arrives à 9 balances. Pour une séquence de n pesées on a testé au plus léquivalent de n balances fiables différentes (si on a choisi chaque fois la balance folle).
Je précise que j'ai fait l'étude à la main et sans graphe ultra-compliqué . Il y a une façon d'aborder les pesées qui donne très simplement la stratégie et la solution . Encore faut-il la voir 
Je donnerai bientôt un indice blanké si tout le monde sèche
Imod
On ne peut pas éliminer la fausse balance. En effet elle peut se faire passer pour une vraie balance jusqu'au dernier moment.
Bonjour.
Avant de me lancer éventuellement dans ce casse-tête j'aimerais avoir une précision complémentaire. Elle concerne, bien sûr, la balance qui raconte n'importe quoi : est-ce que cette balance peut avoir ces 2 plateaux en équilibre avec le même nombre de bonnes pièces sur les 2 plateaux. Je suppose que oui car, par définition, elle fait "n'importe quoi". Si, au lieu de "n'importe quoi" on avait "résultat faux", le problème serait bien plus simple.
@dpi
Qu'est-ce qui ce passe si lors de la troisième pesée la fausse balance ne se révèle pas (les 3 premières pesées sont identiques)? Tu ne peux pas être sûr de ta quatrième pesée.
dpi tes dessins sont très parlants. Avec quel logiciel les fais-tu ?
Attention, la fausse pièce est plus légère donc, avec une bonne balance le plateau contenant la fausse pièce doit être en haut et non en bas (cela ne change en rien la remarque de LittleFox).
>derny
Merci , rien de compliqué, excel, les plateaux sont des accolades en rotation
les pièces des cercles colorés. En son temps j'avais fait un dessin ,je le retrouve
et je le poste
GGen a donné une solution en 5 pesées 
. Le passage à 4 pesées demande encore plus de finesse .
Comme ça bouillonne pas mal , j'attends un peu avant de donner un indice
Amusez-vous bien .
Imod
[blankAppelons A, B et C les 3 balances et appelons a, b, c, d, e, f, g, h, i les 9 pièces.
1)_ abc A def puis abc B def. (2 pesées)
1,1)_ A et B en équilibre. A et B bonnes balances. La fausse pièce est parmi ghi.
g A h (3e pesée)
1,1,1)_ balance en équilibre la fausse pièce est i (3e pesée)
1,1,2)_ balance penche à droite la fausse pièce est g (3e pesée)
1,1,3)_ balance penche à gauche la fausse pièce est h (3e pesée)
1,2)_ A en équilibre mais pas B. A ou B mauvaise balance. C bonne balance.
Remarque : si c'est B qui est en équilibre au lieu de A même raisonnement
abc C ghi (3e pesée)
1,2,1)_ balance en équilibre A mauvaise balance (car abc en équilibre avec def puis avec ghi ce qui est impossible), B bonne balance donc la fausse pièce parmi def
d C e (4e pesée)
1,2,1,1)_ balance en équilibre la fausse pièce est f (4e pesée)
1,2,1,2)_ balance penche à droite la fausse pièce est d (4e pesée)
1,2,1,3)_ balance penche à gauche la fausse pièce est e (4e pesée)
1,2,2)_ balance penche à droite La fausse pièce est parmi abc.
a C b (4e pesée)
1,2,2,1)_ balance en équilibre la fausse pièce est c (4e pesée)
1,2,2,2)_ balance penche à droite la fausse pièce est a (4e pesée)
1,2,2,3)_ balance penche à gauche la fausse pièce est b (4e pesée)
1,2,3)_ balance penche à gauche La fausse pièce est parmi ghi.
g C h (4e pesée)
1,2,3,1)_ balance en équilibre la fausse pièce est i (4e pesée)
1,2,3,2)_ balance penche à droite la fausse pièce est g (4e pesée)
1,2,3,3)_ balance penche à gauche la fausse pièce est h (4e pesée)
][/blank]
Tant pis, j'ai raté mon insertion dans les blankes en faisant un copier/coller. J'aurais du faire un aperçu.
Bonjour,
Je n'ai lu que les 2 premières lignes de derny
C'est alambiqué, mais je tente en 4 pesées.
Je note aussi A, B, C les trois balances.
Cliquez pour afficher@derny,
1)_ abc A def puis abc B def. (2 pesées)
1,1)_ A et B en équilibre. A et B bonnes balances.
La balance A peut ne pas être fiable, mais avoir malicieusement donné une comparaison exacte.
Bonjour
Sylvieg tu as raison, j'ai conclu trop vite.
Pour ta démo que je n'ai pas encore analysé, tu parles d'abord de T U V puis de X Y Z ! Que représentent ces nouvelles lettres ?
C'est pour ne pas traiter 3 fois la même situation rencontrée dans a), b) et c), mais avec des tas et des balances différents.
@Sylvieg
Ton 1) est faux.
En particulier dans le cas a) T<U (A) et U=V (B) ne permet pas de passer au cas d) qui demande X=Y (D) et X<Z (E).
Je maintient qu'en n'importe quel nombre de pesées on ne peut pas savoir quelle balance est fausse si celle-ci se comporte comme une vraie balance lors de tout les tests. Par contre on obtient des informations sur les pièces.
Suite,
De plus cette maudite balance est capable de donner deux fois de suite une vraie ou une fausse pesée...
Vivement la solution.
Descendre à 4 pesées me semble impossible mais sait-on jamais.
Comme dpi, j'attends à présent la solution d'Imod (et aussi j'attends toujours sa solution de "Encore un patron").
J'ai essayé pas mal avec cette idée mais sans réussite :
On pose les pièces en un carré de 3x3 :
a b c
d e f
g h iOn a quatre coordonnées indépendantes : les lignes {(a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)}, les colonnes {(a,d,g),(b,e,h),(c,f,i)}, les diagonales descendantes {(a,e,i),(b,f,g)(c,d,h)} et les diagonales montantes {(a,f,h),(b,d,i),(c,e,g)}.
Chacune des pesées selon une direction donne une information du type : soit la balance est fausse, soit la pièce a telle coordonnée.
Si trois balances dans 3 directions différentes sont d'accord pour une pièce alors c'est cette pièce.
Sinon alors on a trois pièces possibles. Une quatrième pesée avec la première balance dans la direction de la deuxième balance permet de déterminer la pièce... sauf dans le cas ou la quatrième pesée est d'accord avec la seconde. Dans ce cas, seules deux pièces sont possibles mais on ne sait pas laquelle.
Je n'ai pas réussi à faire mieux.
Juste une petite réponse pour signaler que j'existe toujours mais que j'ai peu de temps libre en ce moment .
La dernière approche de LittleFox commence à sentir bon et en effet il faut renoncer à repérer la mauvaise balance .
Imod
PS : je répondrai aussi à Derny dans la soirée pour le problème du patron . J'ai un légèrement inférieur à celui annoncé
, je justifierai et illustrerai en fin d'après midi ( j'espère
).
Bonne journée à tous .
Imod
Chacune des pesées selon une direction donne une information du type : soit la balance est fausse, soit la pièce a telle coordonnée.
@carpediem
Par exemple si on choisi les colonnes comme direction alors faire une pesée (avec n'importe quelles deux colonnes) avec la balance A nous dira dans quelle colonne se trouve la pièce légère. Donc soit A nous ment, soit on connait la colonne de la pièce.
Je donne l'idée pour les deux premières pesées ( j'espère que je ne coupe l'herbe sous le pied de personne ) .
On considère la grille proposée par LittleFox :
Puis on propose les deux pesées suivantes :
Cliquez pour afficherIl n'y a plus qu'à tirer les conclusions et imaginer les pesées suivantes .
Imod
Bonsoir,
Je débarque.
Merci LittleFox d'avoir mis le doigt sur une erreur de ma tentative.
C'est vrai qu'espérer pouvoir repérer la balance non fiable est vain à partir du moment où elle peut s'amuser à donner toujours une réponse exacte.
Je vais essayer de comprendre la démarche avec la grille.
Je pense qu'il faut interpréter le "nous dit " par "montre" . Sans que l'on sache si c'est vrai ou pas.
La balance A donne L1 = L2 ou L1 < L2 ou L1 > L2 .
Avec L1 = L2 elle montre L3 légère.
Avec L1 < L2 elle montre L1 légère.
Avec L1 > L2 elle montre L2 légère.
Pour la suite, je suis aussi un peu larguée 
Quelqu'un(e) peut-il(elle) être plus explicite car je ne comprends toujours pas. Je vous prie de m'excuser si je vous semble un peu "lourd".
Bonjour,
Que diable vient faire cette balance trompeuse,car avec les deux vraies ,deux pesées
suffisent,ce qui veut dire qu'il faut la traquer en deux pesées.
Bonjour,
Je veux bien essayer de débroussailler le début. Ne pas hésiter à rectifier si j'ai mal compris.
Cliquez pour afficherBonjour dpi
Un petit rappel :
C'est vrai qu'espérer pouvoir repérer la balance non fiable est vain à partir du moment où elle peut s'amuser à donner toujours une réponse exacte.
Je suis revenue
En fait, l'important n'est pas de traquer la balance trompeuse.
De toutes façons, c'est impossible de trouver une stratégie qui le permet dans tous les cas : Cette malicieuse peut s'amuser à donner une comparaison exacte.
L'important est de repérer une balance fiable.
Dans la stratégie de Imod finalisée par LittleFox, le seul cas où n'est pas détectée une balance fiable, on sait quelle est la pièce légère. C'est le 1) dans mon message de 8h26.
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