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Niveau Prepa (autre)
Max
Posté par Prototipe19
Bonjour , je veux juste me rassurer ,
si on considère deux variables gaussiennes X et Y centrées réduite , independante , et on cherche à déterminer.
E(Max(X,Y)) , dans tout les cas cette espérance est nulle n'est ce pas ?
Par linéarité de l'espérance E(X)/2+E(Y)/2=0 , pour le terme en valeur absolue , E|X+Y|/2 =E[-(X+Y)]/2 si X+Y>0 PAR linéarité on tombe sur 0 , non ?
Non. L'espérance de la variable aléatoire positive |X-Y| n'est sûrement pas nulle ; ce n'est pas clair pour toi ?
Reste à savoir ce qu'elle vaut.
Ah oui oui c'est claire |X-Y| est une variable aléatoire, mais reste vraiment à savoir ce qu'elle vaut , pourrais tu me donner un petit indice ? Merci
Mais encore ? Espérance ? Variance ?
Ensuite, calcul de l'espérance de la valeur absolue de cette gaussienne : juste une intégrale facile à calculer.
Vas-y !
Plus personne au bout du fil ?
Une simulation très simple en python : on fait la moyenne d'un million de max de deux tirages aléatoires (indépendants) suivant des lois gaussiennes centrées réduites.
import random as rd
def simulmax(n) :
S=0
for i in range(n) :
S += max(rd.gauss(0,1),rd.gauss(0,1))
return S/n
simulmax(10**6)0.5634760135383691
Comme ça, tu pourras vérifier le calcul de la petite intégrale qui donne la réponse à ton exercice.
On peut se demander si le maximum des deux gaussiennes centrées réduites indépendantes est elle-même une gaussienne. Un histogramme sur un échantillon d'un million pourrait le faire penser (voir ci-dessous).
Mais un examen plus attentif montre que ce n'est pas le cas : la médiane de l'échantillon (environ 0.544) est nettement inférieure à la moyenne (environ 0.565). Et par ailleurs un test de Shapiro-Wilk sur un échantillon de 5000 donne une p-valeur de moins de 0.01.
