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Maximum

Posté par Profil Ramanujan 25-12-18 à 13:53

Bonjour,

Soit X une partie de \R.

1/ Exprimer une assertion exprimant que X ne possède pas de maximum.

\forall a \in X, \exists x \in X : x>a

2/ [0,1[ possède t-il un maximum ?

Je dirais non mais je vois pas comment le démontrer.

Posté par
mousse42re : Maximum 25-12-18 à 14:03

Salut,

Aller force un peu!!

Soit a \in[0,1[

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 14:03

Soit a \in [0,1[ il faut trouver un x \in [0,1[ tel que x >a

Je vois la méthode mais je trouve pas.

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 14:12

Salut Mousse vous avez raison, j'ai appris de ce livre qu'il faut toujours tracer la droite graduée réelle pour mieux voir les raisonnements et ici ça marche nikel ! Il donne de bonnes méthodes rien à voir avec mon ancien livre.

Il suffit de prendre : x = \dfrac{1+a}{2}

Comme 0 \leq a < 1 on obtient :

0 \leq \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1+a}{2} <1

Montrons que : x >a ce qui équivaut à montrer que :x-a >0

Or \dfrac{1+a}{2} - a =\dfrac{1-a}{2} >0

D'où le résultat

Posté par
mousse42re : Maximum 25-12-18 à 14:16

moué seulement tu devrais surtout savoir que le milieu de [a,b] c'est (a+b)/2

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 14:28

Mais [0,1[ n'est pas un segment mais un intervalle semi-ouvert ou semi-fermé.

Posté par
mousse42re : Maximum 25-12-18 à 14:34

Tu es sérieux ou c'est de l'humour

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 14:41

J'étais sérieux mais le centre d'un intervalle peut être défini pour tout type d'intervalle donc je pense qu'il y a aucun souci

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 16:46

Je me demande quelle est la méthode pour montrer que :

\max(a_1,\cdots,a_n,a_{n+1})= \max(\max(a_1,\cdots,a_n),a_{n+1})

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 25-12-18 à 18:32

Bonjour

Ramanujan @ 25-12-2018 à 14:41

J'étais sérieux mais le centre d'un intervalle peut être défini pour tout type d'intervalle donc je pense qu'il y a aucun souci


en sixième on sait que les cercles ont un centre et que deux points ont un milieu, mais ce n'est sans doute pas écrit dans ton livre ....
et je te mets au défi de trouver le milieu de l'intervalle [0; +oo[ ....
pour définir le milieu, il suffit de deux points, en fait, le reste de l'intervalle, ouvert ou pas, on n'en a pas besoin

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 19:07

Ok Lafol pourriez vous m'aider pour l'égalité avec les max ?

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 25-12-18 à 19:13

commence par ranger les a_i dans l'ordre croissant, en supposant qu'ils sont dans un ensemble totalement ordonné ....

Posté par
etniopalre : Maximum 25-12-18 à 19:17


Plus généralement dans un ensemble E muni d'un ordre  pour lequel toute partie non vide a une borne supérieure on a :
Sup(X Y) = Max(Sup(X),Sup(Y)) .

Et même :
        Pour toute famille  non vide  (J , j Xj )  de parties non vides de E  on a :    Sup(j Xj = Supj(Sup(Xj)
La preuve n'est pas compliquée du tout .

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 19:21

etniopal @ 25-12-2018 à 19:17


pour répondre, c'est le cadre "répondre à ce sujet", pas le bouton "citer"


Bonsoir,

Je n'ai pas encore étudié les Sup.

Posté par
lionel52re : Maximum 25-12-18 à 19:24

Le maximum est atteint en a_i

Soit i \leq n, soit i = n+1

Les 2 cas sont à tester

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 19:24

lafol @ 25-12-2018 à 19:13

commence par ranger les a_i dans l'ordre croissant, en supposant qu'ils sont dans un ensemble totalement ordonné ....


Vu que c'est des réels ils sont forcément dans un ensemble totalement ordonnée car on peut toujours comparer 2 réels x \leq y ou y \leq x

Je peux considérer : a_1  \leq a_2 \leq ... \leq a_n \leq a_{n+1}

J'ai ici : \max (a_1 , ..., a_n , a_{n+1}) = a_{n+1}

Et \max (\max(a_1,...,a_n) , a_{n+1} ) = \max(a_n , a_{n+1}) = a_{n+1}

C'est juste ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 25-12-18 à 19:28

ben oui, quoi d'autre ?

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 25-12-18 à 19:59

Ok merci. Salut Lionel bien vu.

Si je note a = \max (a_1 ,...,a_n)

Si la maximum est atteint en a_i pour i \in [|1,n|]

Alors : \max(a_1 , ...,a_n , a_{n+1} ) = a

Et \max (\max(a_1 ,...,a_n) a_{n+1} ) = \max(a , a_{n+1)} = a

D'où l'égalité.

Si la maximum est atteint en a_{n+1}

Alors : \max(a_1 , ...,a_n , a_{n+1} ) = a_{n+1}

Et \max (\max(a_1 ,...,a_n) a_{n+1} ) = \max(a , a_{n+1)} = a_{n+1}

D'où le résultat.

Posté par
luzakre : Maximum 26-12-18 à 09:30

Citation :

1/ Exprimer une assertion exprimant que X ne possède pas de maximum.
\forall a \in X, \exists x \in X : x>a

Tu ne réponds pas à la question mais seulement à : écrire que X n'est pas majoré.

Une réponse complète serait  :
(X n'est pas majoré) ou ( X est majoré et \sup X\notin X)

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 26-12-18 à 09:55

Il a traduit "X n'est majoré par aucun élément de X".
X pourrait être majoré par un réel qui n'est pas dans X

Posté par
etniopalre : Maximum 26-12-18 à 12:08

Dans un ensemble E  ordonné par  T , dire qu'une partie  non vide A  de E possède  un plus grand élément c'est dire qu'il existe un élément a de A  tel que  x T a pour tout x de X .

Dire que  A     E  ne possède pas de  plus grand élément c'est donc  dire que quel que soit a de A   , l'ensemble des {x A \{a} tels que  a T x  est non vide  
Pourquoi parler de borne supérieure ?


Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 26-12-18 à 14:11

@Luzak

J'essaie de faire par moi-même et j'ai trouvé la même chose que la correction du livre.

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 26-12-18 à 16:04

J'ai juste fait la négation de la définition donnée dans le livre pour X une partie de \R possède un maximum si :

\exists a \in X , \forall x \in X : x \leq a

Les bornes supérieures ne sont pas abordées dans ce chapitre.

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 28-12-18 à 10:43

Bonjour,

En fait j'essayais de démontrer un résultat dans mon livre qui n'est pas démontré :

Démontrer que si x \in \R et y \in \R alors l'ensemble \{x,y \} possède un plus grand et plus petit élément
J'ai réussi la démo triviale et elle est corrigée dans le livre

Le résultat de l'exercice précédent permet alors de prouver par récurrence sur n \in \N^* que toute partie à n éléments de \R possède un maximum et un minimum.

Mais je vois pas trop comment bien rédiger la récurrence.

Initialisation :

Au rang n=1 il s'agit d'un singleton et tout singleton possède un max et un min.

Hérédité :

Supposons que pour n fixé on ait : (a_1 ,\cdots,a_n) admette un maximum et un minimum. Notons : a = \max(a_1 ,\cdots,a_n)

Considérons la famille :  (a_1 ,\cdots,a_n,a_{n+1})

A cet endroit je vois pas trop comment faire.

Posté par
luzakre : Maximum 28-12-18 à 11:25

Il suffit de comparer a et a_{n+1} puis de conclure pour plus grand élément.
Et recommencer en notant b=\min(a_1,\cdots,a_n).

Posté par
etniopalre : Maximum 28-12-18 à 11:38

Pour tout entier n > 0 soit E(n) l'ensemble  des parties de ayant n éléments

Tu veux montrer que  " n * , A E(n) A possède un plus grand élément .

Autrement dit que l'ensemble  S :=  { n   * │ A E(n)  , A possède un plus grand élément }     n'est  autre que  * .

La preuve par récurrence consiste à montrer que 1 S ( facile ! ) et que
"  si n   S alors n+1 S " .

Tu dis donc
      Ssoient n S et A E(n+1) .
   On peut écrire  (  d'ailleurs de n+1 façons différentes) A = {x} B où B   E(n) . B a donc un plus grand élément y .
    Si   y > x , y est le plus grand élément de A tandis que si y < x , c'est x qui l'est  .
Ainsi n+1 S .


Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 28-12-18 à 11:40

Du coup ça donne 2 cas :

Si a \leq a_{n+1} alors \max (a_1 , \cdots , a_n , a_{n+1}) = \max(a,a_{n+1})=a_{n+1}

Si a > a_{n+1} alors \max (a_1 , \cdots , a_n , a_{n+1}) = \max(a,a_{n+1})=a

Même raisonnement pour le minimum.

Posté par
luzakre : Maximum 28-12-18 à 15:43

Il faudrait prendre le temps de dire (succinctement, sans faire des citations entières) à qui tu réponds quand il y a plusieurs messages en attente.
On se comprendra mieux !

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 28-12-18 à 16:06

Je vous répondais Luzak, je ne comprends absolument rien aux messages d'Etnopial qui sont bien trop compliqués pour mon niveau.

Posté par
lafol Moderateurre : Maximum 28-12-18 à 23:17

Ramanujan @ 25-12-2018 à 16:46

Je me demande quelle est la méthode pour montrer que :

\max(a_1,\cdots,a_n,a_{n+1})= \max(\max(a_1,\cdots,a_n),a_{n+1})
Ramanujan @ 28-12-2018 à 10:43



Hérédité :

Supposons que pour n fixé on ait : (a_1 ,\cdots,a_n) admette un maximum et un minimum. Notons : a = \max(a_1 ,\cdots,a_n)

Considérons la famille : (a_1 ,\cdots,a_n,a_{n+1})

A cet endroit je vois pas trop comment faire.


serions-nous en présence d'un cas d'Alzheimer juvénil ?

Posté par Profil Ramanujanre : Maximum 29-12-18 à 00:03



Non mais j'étais parti sur une idée mais peut être qu'il y avait plus simple pour ça que je suis revenu sur l'exo.


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