Bravo et merci a toi !
plus facile :
(je note z_ "zède barre")
Devoir maison n°2
pour le lundi 21 octobre 2003 : pour tous
exercice 1 : z et z' désignant des complexes.
Montrer que "z+z' et zz' sont tous les deux réels" équivaut à "z et z' sont réels ou conjugués"
exercice 2 : z et z' désignant des complexes tels que :
zz_ = z'z_= 1 et zz'différent de -1.
Prouver que z+z' ------- est réel . 1+zz'
La difficulté essentielle réside dans l'équivalence. Il faut donc faire attention à :
3) conserver l'équivalence à toutes les étapes
4) justifier à chaque étape ce qui ne correspond pas à des règles élémentaires de calcul mental
En outre il ne s'agit pas de faire du "bricolage" mais bel et bien un raisonnement structuré.
Comme je n'ai jamais fait les complexes, je ne peut t'aider
que pour le premier :
soit z s'ecrivant a +bi , et z' s'ecrivant a'+b'i
Pour zz' € IR , on ne doit pas avoir de partie imaginaire,
soir b = b' = 0 , z = a et z' = a' , ainsi on a zz'
= aa' € IR
: soit b <> 0
(a+bi)(a'+b'i) = aa' +ab'i +a'bi + bb'i^2
= aa' + ab'i +a'bi +bb'
*-1
= aa' + ab'i +a'bi -bb'
= aa' + (ab' + a'b)i -
bb'
On doit avoir ab' + a'b = 0 pour que (a+bi)(a'+b'i)
= zz' € IR
# ab' + a'b = 0
(a + bi)+(a' + b'i) = a + bi +a' + b'i = a +
a' + bi + b'i
= a + a' + (b + b')i
ici on doit avoir, b + b' = 0 pour que (a+bi)(a'+b'i)
= z + z' € IR
# b + b' = 0
On a : ab' + a'b = 0
b + b' = 0
b = -b' ou -b = b'
ab' + a'b = a*(-b) + a'b = 0
= -ab + a'b = 0
soit -ab = -a'b ( b <> 0 on a dit )
a = a'
z = (a + bi) z' = (a' +b'i ) , a = a' , donc
z' = (a +b'i) , b' = -b
Finalement z' = (a -bi )
z = (a + bi) z' = (a-bi)
Ghostux
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